Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar equações de planos que contenham a reta definida por:
Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional, e como relacioná-los para encontrar as equações pedidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta . As equações paramétricas nos mostram que é sempre 2, e tanto quanto variam conforme o parâmetro . Isso significa que a reta está paralela ao vetor direção que pode ser extraído das variações de e .
Passo 3
Vamos identificar o vetor diretor da reta . Observando as equações, vemos que conforme varia, e aumentam igualmente. Portanto, o vetor diretor é:
Aqui, o componente em é 0 porque não muda.
Passo 4
Agora, escolhemos um ponto específico na reta . Se colocarmos , temos:
Então, o ponto é .
Passo 5
Para encontrar a equação de um plano que contenha a reta , precisamos de um vetor normal ao plano. Sabendo que a reta está contida no plano, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Podemos escolher outro vetor no plano, por exemplo, tomando outro ponto da reta e formando um vetor.
Vamos supor que queremos um plano específico. Por exemplo, podemos considerar que , que é uma relação direta dos componentes de e na reta.
Passo 6
Usando a relação , podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de um plano que certamente contém a reta , já que para qualquer ponto na reta, e são iguais.