Dados os polinômios p1(x)=1+x^2, p2(x)=-1+x^2 e p3(x)=2+x em P2. Responda:
(a) Mostre que beta=p1, p2, p3 é uma base de P2.
(b) Enconre a matriz [I]beta^alpha onde alpha=1, x, x^2 é base de P2.
© Use a matriz [I]beta^alpha para exprimir o polinômio x^2+x+1 como uma combinação linear dos elementos da base beta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado do exercício. Temos três polinômios no espaço P2:
  • p1(x) = 1 + x^2
  • p2(x) = -1 + x^2
  • p3(x) = 2 + x
Precisamos resolver três partes:
(a) Mostrar que beta = p1, p2, p3 é uma base de P2.
(b) Encontrar a matriz [I]beta^alpha onde alpha = 1, x, x^2.
© Usar essa matriz para expressar o polinômio x^2 + x + 1 como combinação linear dos elementos de beta.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que beta é uma base de P2.
Para uma coleção de vetores (ou polinômios) ser uma base, ela precisa satisfazer dois critérios:
  1. Ser linearmente independente: Nenhum polinômio pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar todo o espaço: Qualquer polinômio em P2 pode ser escrito como combinação linear desses polinômios.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear. Consideramos uma combinação linear igual a zero:
c1p1(x) + c2p2(x) + c3p3(x) = 0
Substituindo os polinômios:
c1(1 + x^2) + c2(-1 + x^2) + c3(2 + x) = 0
Simplificando:
(c1 - c2 + 2c3) + (c3)x + (c1 + c2)x^2 = 0
Para que isso seja igual a zero para todo x, os coeficientes de 1, x e x^2 devem ser zero:
  1. c1 - c2 + 2c3 = 0
  2. c3 = 0
  3. c1 + c2 = 0

Passo 4

Da segunda equação, temos c3 = 0. Substituindo na primeira equação:
c1 - c2 = 0 Rightarrow c1 = c2
E da terceira equação:
c1 + c2 = 0 Rightarrow 2c1 = 0 Rightarrow c1 = 0
Então, c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 5

Como a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, os polinômios são linearmente independentes. Além disso, como temos três polinômios e a dimensão de P2 é 3 (com base alpha = 1, x, x^2), a coleção beta gera todo o espaço.

Passo 6

Parte (b): Encontrar a matriz [I]beta^alpha.
Essa matriz representa como os vetores da base beta são expressos em termos da base alpha. Cada coluna da matriz corresponderá aos coeficientes dos polinômios de beta escritos na base alpha.

Passo 7

Vamos expressar cada polinômio de beta na base alpha = 1, x, x^2:
  1. p1(x) = 1 + x^2 = 1cdot1 + 0cdot x + 1cdot x^2 Rightarrow [1 ; 0 ; 1]^T
  2. p2(x) = -1 + x^2 = -1cdot1 + 0cdot x + 1cdot x^2 Rightarrow [-1 ; 0 ; 1]^T
  3. p3(x) = 2 + x = 2cdot1 + 1cdot x + 0cdot x^2 Rightarrow [2 ; 1 ; 0]^T

Passo 8

Organizando esses coeficientes em colunas, a matriz [I]beta^alpha fica:
[I]beta^alpha = 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0

Passo 9

Parte ©: Expressar x^2 + x + 1 como combinação linear dos elementos de beta usando a matriz [I]beta^alpha.
Queremos encontrar coeficientes a, b, e c tais que:
a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x) = x^2 + x + 1

Passo 10

Na linguagem de matrizes, isso fica:
[I]beta^alpha a b c = 1 1 1
Onde o vetor 1 1 1 representa os coeficientes de x^2 + x + 1 na base alpha.

Passo 11

Resolvendo o sistema linear:
1a -1b +2c =1 0a +0b +1c =1 1a +1b +0c =1
Da segunda equação: c = 1.
Substituindo na primeira equação:
a - b + 2(1) = 1 Rightarrow a - b = -1
E da terceira equação:
a + b = 1
Agora, temos:
a - b = -1 a + b = 1
Somando as duas equações:
2a = 0 Rightarrow a = 0
Substituindo em a + b = 1:
0 + b = 1 Rightarrow b = 1

Passo 12

Portanto, os coeficientes são a = 0, b = 1, e c = 1.

Resposta

Logo, o polinômio x^2 + x + 1 pode ser escrito como:
x^2 + x + 1 = 0 cdot p1(x) + 1 cdot p2(x) + 1 cdot p3(x)
Ou seja,
x^2 + x + 1 = p2(x) + p3(x)

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