Para uma coleção de vetores (ou polinômios) ser uma base, ela precisa satisfazer dois critérios:
Ser linearmente independente: Nenhum polinômio pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Gerar todo o espaço: Qualquer polinômio em pode ser escrito como combinação linear desses polinômios.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear. Consideramos uma combinação linear igual a zero:
Substituindo os polinômios:
Simplificando:
Para que isso seja igual a zero para todo , os coeficientes de , e devem ser zero:
Passo 4
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira equação:
E da terceira equação:
Então, .
Passo 5
Como a única solução é , os polinômios são linearmente independentes. Além disso, como temos três polinômios e a dimensão de é 3 (com base ), a coleção gera todo o espaço.
Passo 6
Parte (b): Encontrar a matriz .
Essa matriz representa como os vetores da base são expressos em termos da base . Cada coluna da matriz corresponderá aos coeficientes dos polinômios de escritos na base .
Passo 7
Vamos expressar cada polinômio de na base :
Passo 8
Organizando esses coeficientes em colunas, a matriz fica: