Dados os polinômios e em . Responda:
(a) Mostre que é uma base de .
(b) Enconre a matriz onde é base de .
© Use a matriz para exprimir o polinômio como uma combinação linear dos elementos da base .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado do exercício. Temos três polinômios no espaço :
Precisamos resolver três partes:
(a) Mostrar que é uma base de .
(b) Encontrar a matriz onde .
© Usar essa matriz para expressar o polinômio como combinação linear dos elementos de .
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que é uma base de .
Para uma coleção de vetores (ou polinômios) ser uma base, ela precisa satisfazer dois critérios:
  1. Ser linearmente independente: Nenhum polinômio pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar todo o espaço: Qualquer polinômio em pode ser escrito como combinação linear desses polinômios.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear. Consideramos uma combinação linear igual a zero:
Substituindo os polinômios:
Simplificando:
Para que isso seja igual a zero para todo , os coeficientes de , e devem ser zero:

Passo 4

Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira equação:
E da terceira equação:
Então, .

Passo 5

Como a única solução é , os polinômios são linearmente independentes. Além disso, como temos três polinômios e a dimensão de é 3 (com base ), a coleção gera todo o espaço.

Passo 6

Parte (b): Encontrar a matriz .
Essa matriz representa como os vetores da base são expressos em termos da base . Cada coluna da matriz corresponderá aos coeficientes dos polinômios de escritos na base .

Passo 7

Vamos expressar cada polinômio de na base :

Passo 8

Organizando esses coeficientes em colunas, a matriz fica:

Passo 9

Parte ©: Expressar como combinação linear dos elementos de usando a matriz .
Queremos encontrar coeficientes , , e tais que:

Passo 10

Na linguagem de matrizes, isso fica:
Onde o vetor representa os coeficientes de na base .

Passo 11

Resolvendo o sistema linear:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação:
E da terceira equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em :

Passo 12

Portanto, os coeficientes são , , e .

Resposta

Logo, o polinômio pode ser escrito como:
Ou seja,

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