Seja uma matriz quadrada. Definimos o traço de , por : ?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos perguntando. Temos duas matrizes quadradas, e , ambas de tamanho . O traço de uma matriz, denotado por , é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz , ou seja, . A pergunta é: será que o traço do produto das duas matrizes () é igual ao produto dos traços das matrizes individuais ()? Vamos descobrir!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o traço de uma matriz. Para uma matriz , o traço é simplesmente a soma dos elementos onde linha e coluna são iguais: . Isso nos dá um número único para qualquer matriz quadrada.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando multiplicamos duas matrizes, e . O elemento na posição da matriz resultante é calculado multiplicando os elementos correspondentes da linha de pela coluna de e somando esses produtos:
Passo 4
Queremos encontrar o traço do produto das matrizes, ou seja:
Isso significa que estamos somando todos os produtos para cada linha .
Passo 5
Agora, vamos comparar isso com o produto dos traços individuais:
Aqui, estamos multiplicando a soma dos elementos da diagonal de pela soma dos elementos da diagonal de . Isso resulta em uma soma que inclui somente os produtos para todos os e .
Passo 6
Para verificar se , vamos considerar um exemplo simples com matrizes .
Suponha que:
Calculando o traço de cada matriz:
Então,
Agora, vamos calcular o traço do produto :
Então,
Resposta
Como vimos no exemplo, , ou seja, . Portanto, em geral, o traço do produto de duas matrizes não é igual ao produto dos traços das matrizes individuais.