Seja uma matriz quadrada. Definimos o traço de , por : ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos perguntando. Temos duas matrizes quadradas, e , ambas de tamanho . O traço de uma matriz, denotado por , é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz , ou seja, . A pergunta é: será que o traço do produto das duas matrizes ( ) é igual ao produto dos traços das matrizes individuais ( )? Vamos descobrir!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o traço de uma matriz. Para uma matriz , o traço é simplesmente a soma dos elementos onde linha e coluna são iguais: . Isso nos dá um número único para qualquer matriz quadrada.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando multiplicamos duas matrizes, e . O elemento na posição da matriz resultante é calculado multiplicando os elementos correspondentes da linha de pela coluna de e somando esses produtos:

Passo 4

Queremos encontrar o traço do produto das matrizes, ou seja:
Isso significa que estamos somando todos os produtos para cada linha .

Passo 5

Agora, vamos comparar isso com o produto dos traços individuais:
Aqui, estamos multiplicando a soma dos elementos da diagonal de pela soma dos elementos da diagonal de . Isso resulta em uma soma que inclui somente os produtos para todos os e .

Passo 6

Para verificar se , vamos considerar um exemplo simples com matrizes .
Suponha que:
Calculando o traço de cada matriz:
Então,
Agora, vamos calcular o traço do produto :
Então,

Resposta

Como vimos no exemplo, , ou seja, . Portanto, em geral, o traço do produto de duas matrizes não é igual ao produto dos traços das matrizes individuais.

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Seja um subconjunto de . Mostre que e encontre .
Encontre uma base para o subespaço : e .
Sejam bases de tais que . Ache:
(a) sabendo que . (b) sabendo que .
Dados os polinômios e em . Responda:
(a) Mostre que é uma base de .
(b) Enconre a matriz onde é base de .
© Use a matriz para exprimir o polinômio como uma combinação linear dos elementos da base .