Seja
uma matriz quadrada. Definimos o traço de
, por
:
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos perguntando. Temos duas matrizes quadradas,
e
, ambas de tamanho
. O traço de uma matriz, denotado por
, é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz
, ou seja,
. A pergunta é: será que o traço do produto das duas matrizes (
) é igual ao produto dos traços das matrizes individuais (
)? Vamos descobrir!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o traço de uma matriz. Para uma matriz
, o traço é simplesmente a soma dos elementos onde linha e coluna são iguais:
. Isso nos dá um número único para qualquer matriz quadrada.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando multiplicamos duas matrizes,
e
. O elemento na posição
da matriz resultante
é calculado multiplicando os elementos correspondentes da linha
de
pela coluna
de
e somando esses produtos:
Passo 4
Queremos encontrar o traço do produto das matrizes, ou seja:
Isso significa que estamos somando todos os produtos
para cada linha
.
Passo 5
Agora, vamos comparar isso com o produto dos traços individuais:
Aqui, estamos multiplicando a soma dos elementos da diagonal de
pela soma dos elementos da diagonal de
. Isso resulta em uma soma que inclui somente os produtos
para todos os
e
.
Passo 6
Para verificar se
, vamos considerar um exemplo simples com matrizes
.
Suponha que:
Calculando o traço de cada matriz:
Então,
Agora, vamos calcular o traço do produto
:
Então,
Resposta
Como vimos no exemplo,
, ou seja,
. Portanto, em geral, o traço do produto de duas matrizes não é igual ao produto dos traços das matrizes individuais.