Seja A=[ai j]n times n uma matriz quadrada. Definimos o traço de A, Tr(A), por sum ai i: Tr(A cdot B)=Tr(A) cdot Tr(B) ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos perguntando. Temos duas matrizes quadradas, A e B, ambas de tamanho n times n. O traço de uma matriz, denotado por Tr(A), é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A, ou seja, Tr(A) = sum aii. A pergunta é: será que o traço do produto das duas matrizes ( Tr(A cdot B)) é igual ao produto dos traços das matrizes individuais ( Tr(A) cdot Tr(B))? Vamos descobrir!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o traço de uma matriz. Para uma matriz C = [cij], o traço é simplesmente a soma dos elementos onde linha e coluna são iguais: Tr(C) = c11 + c22 + dots + cnn. Isso nos dá um número único para qualquer matriz quadrada.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando multiplicamos duas matrizes, A e B. O elemento na posição (i,j) da matriz resultante A cdot B é calculado multiplicando os elementos correspondentes da linha i de A pela coluna j de B e somando esses produtos:
(A cdot B)ij = sumk=1^n aik cdot bkj

Passo 4

Queremos encontrar o traço do produto das matrizes, ou seja:
Tr(A cdot B) = sumi=1^n (A cdot B)ii = sumi=1^n sumk=1^n aik cdot bki
Isso significa que estamos somando todos os produtos aik cdot bki para cada linha i.

Passo 5

Agora, vamos comparar isso com o produto dos traços individuais:
Tr(A) cdot Tr(B) = ( sumi=1^n aii ) cdot ( sumj=1^n bjj )
Aqui, estamos multiplicando a soma dos elementos da diagonal de A pela soma dos elementos da diagonal de B. Isso resulta em uma soma que inclui somente os produtos aii cdot bjj para todos os i e j.

Passo 6

Para verificar se Tr(A cdot B) = Tr(A) cdot Tr(B), vamos considerar um exemplo simples com matrizes 2 times 2.
Suponha que:
A = 1 & 2 3 & 4 , B = 5 & 6 7 & 8
Calculando o traço de cada matriz:
Tr(A) = 1 + 4 = 5
Tr(B) = 5 + 8 = 13
Então,
Tr(A) cdot Tr(B) = 5 cdot 13 = 65
Agora, vamos calcular o traço do produto A cdot B:
A cdot B = (1 cdot 5 + 2 cdot 7) & (1 cdot 6 + 2 cdot 8) (3 cdot 5 + 4 cdot 7) & (3 cdot 6 + 4 cdot 8) = 19 & 22 43 & 50
Então,
Tr(A cdot B) = 19 + 50 = 69

Resposta

Como vimos no exemplo, 69 neq 65, ou seja, Tr(A cdot B) neq Tr(A) cdot Tr(B). Portanto, em geral, o traço do produto de duas matrizes não é igual ao produto dos traços das matrizes individuais.

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