Sejam bases de tais que . Ache:
(a) sabendo que . (b) sabendo que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre bases em e mudança de coordenadas entre essas bases. A gente tem duas bases, e , e uma matriz que representa a mudança de coordenadas de para . Para resolver, vamos precisar entender como usar essa matriz para transformar as coordenadas dos vetores de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a matriz . Ela transforma as coordenadas de um vetor da base para a base . Então, se temos , podemos multiplicar essa matriz por para encontrar .
A matriz dada é:
Passo 3
Vamos resolver a parte (a). A gente tem e queremos encontrar .
Para isso, fazemos:
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz pela coordenada:
[
\cdot
]
Passo 5
Fazendo as contas:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Para a terceira coordenada:
Passo 6
Então, .
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). A gente tem e queremos encontrar .
Para isso, precisamos da matriz inversa de , que chamaremos de , para converter de volta para .
Passo 8
Vamos calcular a inversa da matriz :
Calculando a inversa dessa matriz, obtemos:
Passo 9
Agora, multiplicamos a matriz inversa pelo vetor :