Sejam bases de tais que . Ache:
(a) sabendo que . (b) sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre bases em e mudança de coordenadas entre essas bases. A gente tem duas bases, e , e uma matriz que representa a mudança de coordenadas de para . Para resolver, vamos precisar entender como usar essa matriz para transformar as coordenadas dos vetores de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz . Ela transforma as coordenadas de um vetor da base para a base . Então, se temos , podemos multiplicar essa matriz por para encontrar .
A matriz dada é:

Passo 3

Vamos resolver a parte (a). A gente tem e queremos encontrar .
Para isso, fazemos:

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz pela coordenada:

[

\cdot


]

Passo 5

Fazendo as contas:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Para a terceira coordenada:

Passo 6

Então, .

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). A gente tem e queremos encontrar .
Para isso, precisamos da matriz inversa de , que chamaremos de , para converter de volta para .

Passo 8

Vamos calcular a inversa da matriz :
Calculando a inversa dessa matriz, obtemos:

Passo 9

Agora, multiplicamos a matriz inversa pelo vetor :

Passo 10

Fazendo as contas:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Para a terceira coordenada:

Resposta

(a)
(b)

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Seja uma matriz quadrada. Definimos o traço de , por : ?
Seja um subconjunto de . Mostre que e encontre .
Dados os polinômios e em . Responda:
(a) Mostre que é uma base de .
(b) Enconre a matriz onde é base de .
© Use a matriz para exprimir o polinômio como uma combinação linear dos elementos da base .
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos e nos seguintes casos: