Sejam alpha, beta bases de R^3 tais que [I]alpha^beta=(ccc1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1). Ache:
(a) [v]alpha sabendo que [v]beta=(c-1 2 3). (b) [v]beta sabendo que [v]alpha=(c-1 2 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre bases em e mudança de coordenadas entre essas bases. A gente tem duas bases, e , e uma matriz que representa a mudança de coordenadas de para . Para resolver, vamos precisar entender como usar essa matriz para transformar as coordenadas dos vetores de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz [I]alpha^beta = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 . Ela transforma as coordenadas de um vetor da base para a base . Então, se temos , podemos multiplicar essa matriz por para encontrar .
A matriz dada é:

Passo 3

Vamos resolver a parte (a). A gente tem -1 2 3 e queremos encontrar [v]alpha = [I]alpha^beta cdot [v]beta .
Para isso, fazemos:

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz pela coordenada:

[
1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 cdot -1 2 3 = 1*(-1) + 1*2 + 0*3 0*(-1) + (-1)*2 + 1*3 1*(-1) + 0*2 + (-1)*3
\cdot


]

Passo 5

Fazendo as contas:
Para a primeira coordenada:
-1 + 2 + 0 = 1
Para a segunda coordenada:
0 - 2 + 3 = 1
Para a terceira coordenada:
-1 + 0 - 3 = -4

Passo 6

Então, 1 1 -4 .

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). A gente tem -1 2 3 e queremos encontrar .
Para isso, precisamos da matriz inversa de , que chamaremos de , para converter de volta para .

Passo 8

Vamos calcular a inversa da matriz [I]alpha^beta = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 :
[I]beta^alpha = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1
Calculando a inversa dessa matriz, obtemos:

Passo 9

Agora, multiplicamos a matriz inversa pelo vetor [v]beta = [I]beta^alpha cdot [v]alpha = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 cdot -1 2 3 :

Passo 10

Fazendo as contas:
Para a primeira coordenada:
1*(-1) + 1*2 + 1*3 = -1 + 2 + 3 = 4
Para a segunda coordenada:
1*(-1) + (-1)*2 + 0*3 = -1 -2 + 0 = -3
Para a terceira coordenada:
1*(-1) + 1*2 + (-1)*3 = -1 + 2 -3 = -2

Resposta

(a) 1 1 -4
(b) 4 -3 -2

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