Dados o ponto B=(-2,1) e a reta r: P(t)=binom20+tbinom-32, t in R, obtenha o pé da perpendicular de B até r, isto é, obtenha o ponto Q in r tal que o segmento B Q seja perpendicular a r.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica. Precisamos encontrar o pé da perpendicular do ponto até a reta definida por , onde . Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores e perpendicularidade entre retas e segmentos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos na reta . A expressão nos mostra que a reta passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor .

Passo 3

Queremos encontrar o ponto na reta tal que o segmento seja perpendicular a . Para isso, sabemos que o vetor deve ser perpendicular ao vetor diretor . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 4

Vamos expressar o vetor . Se está na reta , podemos escrever suas coordenadas como . Então, .

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre BQ cdot v = (4 - 3t)(-3) + (2t - 1)(2) = -12 + 9t + 4t - 2 = 13t - 14 e 13t - 14 = 0 :
Como deve ser perpendicular a , igualamos o produto escalar a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação para 13t = 14 implies t = 1413 :

Passo 7

Substituímos o valor de Q = (2 - 3 (1413), 2 (1413)) = (2 - 4213, 2813) = (2613 - 4213, 2813) = (-1613, 2813) encontrado nas coordenadas de :

Resposta

O pé da perpendicular de até a reta é o ponto .

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