Em relaçio a matriz A=(cccc1 & 2 & 3 & 4 -1 & 5 & -3 & -2 2 & 0 & 6 & 1 -2 & 0 & -6 & 0). Responda cada afirmação com
Verdadeiro ou Falso e justifique sua resposta:
© Existe a matriz inversa A^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para vermos se a matriz tem uma matriz inversa . Isso está ligado ao conteúdo de matrizes e suas propriedades, especialmente sobre a invertibilidade. Para resolver, precisamos verificar se o determinante de é diferente de zero, porque só matrizes com determinante não nulo têm inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 2 & 3 & 4 -1 & 5 & -3 & -2 2 & 0 & 6 & 1 -2 & 0 & -6 & 0 . A matriz é:
Como é uma matriz , calcular o determinante diretamente pode ser complicado. Uma forma mais simples é usar operações de linha para simplificar a matriz até trazer a matriz para uma forma triangular, onde o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar 1 & 2 & 3 & 4 0 & 7 & 0 & 2 2 & 0 & 6 & 1 -2 & 0 & -6 & 0 . Primeiro, deixamos o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 (já está). Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
  • Linha 2: 1 & 2 & 3 & 4 0 & 7 & 0 & 2 0 & -4 & 0 & -7 -2 & 0 & -6 & 0
1 & 2 & 3 & 4 0 & 7 & 0 & 2 0 & -4 & 0 & -7 0 & 4 & 0 & 8
  • Linha 3:
  • Linha 4:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1, então dividimos a segunda linha por 7:
L2 = 17 L2 Rightarrow 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 27 0 & -4 & 0 & -7 0 & 4 & 0 & 8
Em seguida, zero os elementos abaixo e acima do 1 na segunda coluna.
  • Linha 1: 1 & 0 & 3 & 267 0 & 1 & 0 & 27 0 & -4 & 0 & -7 0 & 4 & 0 & 8
1 & 0 & 3 & 267 0 & 1 & 0 & 27 0 & 0 & 0 & -467 0 & 4 & 0 & 8
  • Linha 3: 1 & 0 & 3 & 267 0 & 1 & 0 & 27 0 & 0 & 0 & -467 0 & 0 & 0 & 467
  • Linha 4:

Passo 5

Observamos que na terceira coluna, todos os elementos são zero, exceto na posição (3,4) e (4,4). No entanto, para a matriz ser invertível, devemos ter uma matriz triangular com todos os pivôs (elementos da diagonal principal) diferentes de zero. Aqui, vemos que há uma linha inteira de zeros, o que indica que o determinante é zero.

Resposta

Falso. A matriz não possui matriz inversa porque seu determinante é zero.

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