Use o Processo de Ortonalização de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base
no produto interno indicado:
, com produto interno
do
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar a base
em uma base ortonormal no espaço
. A ortonormalização significa que os vetores da nova base vão ser ortogonais entre si (ou seja, o produto interno entre eles será zero) e cada vetor terá norma igual a 1.
Para isso, vamos usar o produto interno dado:
Vamos precisar seguir os passos do método Gram-Schmidt para ajustar os vetores da base original.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de
e
. O primeiro passo do Gram-Schmidt é normalizar o primeiro vetor para que sua norma seja 1.
A norma de um vetor
é dada por:
Então, vamos calcular
:
Portanto, a norma de
é:
Agora, normalizamos
dividindo cada componente por sua norma:
Passo 3
Agora, vamos tornar o segundo vetor
ortogonal ao primeiro vetor normalizado
. Para isso, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor
para que sua norma seja 1. Vamos calcular a norma de
:
Calculando passo a passo:
Então, normalizamos
:
Resposta
A base ortonormalizada usando o Processo de Gram-Schmidt é: