Use o Processo de Ortonalização de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base alpha subset V no produto interno indicado: alpha=(1,2),(1,3), com produto interno lang<=(a, b),(c, d)rang<==2 a c+a d+b c+b d do R^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar a base alpha = (1,2),(1,3) em uma base ortonormal no espaço R^2. A ortonormalização significa que os vetores da nova base vão ser ortogonais entre si (ou seja, o produto interno entre eles será zero) e cada vetor terá norma igual a 1.
Para isso, vamos usar o produto interno dado:
lang<= (a, b), (c, d) rang<= = 2ac + ad + bc + bd
Vamos precisar seguir os passos do método Gram-Schmidt para ajustar os vetores da base original.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de v1 = (1, 2) e v2 = (1, 3). O primeiro passo do Gram-Schmidt é normalizar o primeiro vetor para que sua norma seja 1.
A norma de um vetor v é dada por:
|v| = raizlang<= v, v rang<=
Então, vamos calcular lang<= v1, v1 rang<=:
lang<= (1, 2), (1, 2) rang<= = 2(1)(1) + (1)(2) + (2)(1) + (2)(2) = 2 + 2 + 2 + 4 = 10
Portanto, a norma de v1 é:
|v1| = raiz10
Agora, normalizamos v1 dividindo cada componente por sua norma:
u1 = v1|v1| = ( 1raiz10, 2raiz10 )

Passo 3

Agora, vamos tornar o segundo vetor v2 = (1, 3) ortogonal ao primeiro vetor normalizado u1. Para isso, usamos a fórmula:
v2' = v2 - lang<= v2, u1 rang<= u1
Primeiro, calculamos lang<= v2, u1 rang<=:
lang<= (1, 3), ( 1raiz10, 2raiz10 ) rang<= = 2(1)( 1raiz10 ) + (1)( 2raiz10 ) + (3)( 1raiz10 ) + (3)( 2raiz10 )
Simplificando:
= 2raiz10 + 2raiz10 + 3raiz10 + 6raiz10 = 13raiz10
Então:
v2' = (1, 3) - 13raiz10 ( 1raiz10, 2raiz10 ) = (1 - 1310, 3 - 2610) = (-310, 410) = (-0.3, 0.4)

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor v2' para que sua norma seja 1. Vamos calcular a norma de v2':
|v2'| = raizlang<= v2', v2' rang<= = raiz2(-0.3)^2 + (-0.3)(0.4) + 0.4(-0.3) + 0.4(0.4)
Calculando passo a passo:
= raiz2(0.09) + (-0.12) + (-0.12) + 0.16 = raiz0.18 - 0.24 + 0.16 = raiz0.10 = raiz110 = 1raiz10
Então, normalizamos v2':
u2 = v2'|v2'| = (-0.3, 0.4)1raiz10 = ( -0.3 raiz10, 0.4 raiz10 )

Resposta

A base ortonormalizada usando o Processo de Gram-Schmidt é:
u1 = ( 1raiz10, 2raiz10 ), u2 = ( -0.3 raiz10, 0.4 raiz10 )

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