Dados o ponto e a reta , considere a distância .
Verifique que existe um único ponto para o qual é mínima a distância ; tal mínimo vale e .
(Observe que ;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um ponto e uma reta descrita pelas equações paramétricas , onde é um número real. A tarefa é mostrar que existe um único ponto na reta que está mais próximo de , ou seja, que a distância é mínima e igual a , com . Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica, especialmente sobre distâncias entre pontos e retas no espaço tridimensional, e como encontrar o ponto mais próximo na reta a partir de um ponto externo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a distância entre um ponto e uma reta no espaço. A fórmula para a distância entre um ponto e uma reta definida por é dada por:
Aqui, é o vetor que vai de um ponto qualquer na reta até o ponto , e é o vetor diretor da reta .
Passo 3
Vamos identificar os elementos da nossa reta . A parametrização nos mostra que o vetor diretor da reta é . Além disso, podemos escolher um ponto qualquer na reta para ser nosso ponto . Vamos escolher , então .
Passo 4
Agora, vamos formar o vetor . Sabendo que e , temos:
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto vetorial . Com e , temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma (módulo) do produto vetorial ||AP times v|| = raiz7^2 + (-1)^2 + (-8)^2 = raiz49 + 1 + 64 = raiz114 :