Dados o ponto P=(2,-1,3) e a reta L: X=(3 t,-7+5 t, 2+2 t), t in R, considere a distância d(P, X), com X in L.
Verifique que existe um único ponto M in L para o qual é mínima a distância d(P, X); tal mínimo vale raiz3 e M=(3,-2,4).
(Observe que d(P, L)=d(P, M)=raiz3);

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um ponto e uma reta descrita pelas equações paramétricas , onde é um número real. A tarefa é mostrar que existe um único ponto na reta que está mais próximo de , ou seja, que a distância é mínima e igual a , com . Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica, especialmente sobre distâncias entre pontos e retas no espaço tridimensional, e como encontrar o ponto mais próximo na reta a partir de um ponto externo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a distância entre um ponto e uma reta no espaço. A fórmula para a distância d = ||AP times v||||v|| entre um ponto e uma reta definida por é dada por:
Aqui, é o vetor que vai de um ponto qualquer na reta até o ponto , e é o vetor diretor da reta .

Passo 3

Vamos identificar os elementos da nossa reta . A parametrização nos mostra que o vetor diretor da reta é . Além disso, podemos escolher um ponto qualquer na reta para ser nosso ponto . Vamos escolher , então .

Passo 4

Agora, vamos formar o vetor AP = P - A = (2 - 0, -1 - (-7), 3 - 2) = (2, 6, 1) . Sabendo que e , temos:

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto vetorial AP times v = i & j & k 2 & 6 & 1 3 & 5 & 2 = i(6 cdot 2 - 1 cdot 5) - j(2 cdot 2 - 1 cdot 3) + k(2 cdot 5 - 6 cdot 3) . Com AP times v = i(12 - 5) - j(4 - 3) + k(10 - 18) = (7, -1, -8) e , temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma (módulo) do produto vetorial ||AP times v|| = raiz7^2 + (-1)^2 + (-8)^2 = raiz49 + 1 + 64 = raiz114 :
||v|| = raiz3^2 + 5^2 + 2^2 = raiz9 + 25 + 4 = raiz38
E a norma do vetor diretor :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da distância:
d = raiz114raiz38 = raiz11438 = raiz3
Então, a distância mínima entre o ponto e a reta é .

Passo 8

Para encontrar o ponto PM cdot v = 0 na reta PM = M - P = (3t - 2, -7 + 5t + 1, 2 + 2t - 3) = (3t - 2, 5t - 6, 2t - 1) que está mais próximo de (3t - 2, 5t - 6, 2t - 1) cdot (3, 5, 2) = 0 , precisamos determinar o valor de 3(3t - 2) + 5(5t - 6) + 2(2t - 1) = 0 que minimiza a distância. Podemos usar a condição de perpendicularidade entre o vetor 9t - 6 + 25t - 30 + 4t - 2 = 0 e o vetor diretor 38t - 38 = 0 Rightarrow t = 1 :
Sabendo que e , temos:
Então:

Passo 9

Substituindo M = (3(1), -7 + 5(1), 2 + 2(1)) = (3, -2, 4) na parametrização da reta :
Portanto, o ponto é o único ponto na reta que está mais próximo do ponto , com uma distância mínima de .

Resposta

Existe um único ponto na reta que está a uma distância mínima de de .

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