Supondo as matrizes
e
inversíveis, determine
em cada equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema com matrizes aqui. Temos três matrizes que são inversíveis, ou seja, elas têm inversas:
,
e
. A equação que a gente precisa resolver é
. Nosso objetivo é descobrir qual é a matriz
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades das matrizes inversas e saber manipular as equações envolvendo essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inversa de um produto de matrizes segue a regra
. Isso significa que quando a gente tem a inversa de um produto, a gente inverte a ordem e inverte cada matriz individualmente. Aplicando isso na nossa equação, temos:
Passo 3
Agora, queremos isolar o
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
na direita. Isso dá:
Mas, na verdade, para simplificar melhor, vamos multiplicar ambos os lados da equação original por
para eliminar a inversa. Então:
Simplificando o lado esquerdo:
Onde
é a matriz identidade. Então, temos:
Passo 4
Agora, para isolar o
, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de
. Lembrando que
porque a inversa de um produto também inverte a ordem. Assim:
Substituindo a inversa:
Passo 5
Sabemos que
, então:
E como
é a identidade, temos:
Resposta
A matriz
que resolve a equação é: