Supondo as matrizes A, B e C inversíveis, determine X em cada equação. (A X)^-1 B=B C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema com matrizes aqui. Temos três matrizes que são inversíveis, ou seja, elas têm inversas: A, B e C. A equação que a gente precisa resolver é (A X)^-1 B = B C. Nosso objetivo é descobrir qual é a matriz X. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades das matrizes inversas e saber manipular as equações envolvendo essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inversa de um produto de matrizes segue a regra (A X)^-1 = X^-1 A^-1. Isso significa que quando a gente tem a inversa de um produto, a gente inverte a ordem e inverte cada matriz individualmente. Aplicando isso na nossa equação, temos:
(A X)^-1 B = X^-1 A^-1 B = B C

Passo 3

Agora, queremos isolar o X^-1. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por A^-1 B na direita. Isso dá:
X^-1 A^-1 B cdot A^-1 B = B C cdot A^-1 B
Mas, na verdade, para simplificar melhor, vamos multiplicar ambos os lados da equação original por A X para eliminar a inversa. Então:
(A X)^-1 B cdot A X = B C cdot A X
Simplificando o lado esquerdo:
I B = B C cdot A X
Onde I é a matriz identidade. Então, temos:
B = B C A X

Passo 4

Agora, para isolar o X, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de B C A. Lembrando que (B C A)^-1 = A^-1 C^-1 B^-1 porque a inversa de um produto também inverte a ordem. Assim:
(B C A)^-1 B = X
Substituindo a inversa:
A^-1 C^-1 B^-1 B = X

Passo 5

Sabemos que B^-1 B = I, então:
A^-1 C^-1 I = X
E como I é a identidade, temos:
X = A^-1 C^-1

Resposta

A matriz X que resolve a equação é:
X = A^-1 C^-1

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