Seja T: R^4 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z, t)=(4 x+y-2 z-3 t, 2 x+y+z-4 t, 6 x-9 y+9 z)
Encontre N u(T) e Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o Núcleo (ou kernel) e a Imagem (ou imagem) da transformação linear T(x, y, z, t) = (4x + y - 2z - 3t, ; 2x + y + z - 4t, ; 6x - 9y + 9z) definida por
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente conceitos de Transformações Lineares, Núcleo e Imagem.
O que vamos precisar:
  1. Resolver um sistema linear para encontrar o núcleo.
  2. Analisar as combinações lineares das colunas da matriz associada para determinar a imagem.

Passo 2

Encontrando o Núcleo Núc<=o(T) = (x, y, z, t) in R^4 mid T(x, y, z, t) = 0 ú:
O núcleo de uma transformação linear 4x + y - 2z - 3t = 0 2x + y + z - 4t = 0 6x - 9y + 9z = 0 é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
ú
Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Resolvendo o Sistema Linear:
Vamos escrever o sistema em forma aumentada e usar eliminação de Gauss para resolver:
cccc|c 4 & 1 & -2 & -3 & 0 2 & 1 & 1 & -4 & 0 6 & -9 & 9 & 0 & 0
Etapa 1: Tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 (opcional, mas facilita):
Linha 1 = 14 times Linha 1 Rightarrow (1, 14, -12, -34 mid 0)
Etapa 2: Eliminar Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1 Linha 3 = Linha 3 - 6 times Linha 1 das linhas 2 e 3 usando a linha 1:
cccc|c 1 & 14 & -12 & -34 & 0 0 & 12 & 2 & -52 & 0 0 & -152 & 12 & 92 & 0
Após as operações:
Linha 2 = 2 times Linha 2 Rightarrow (0, 1, 4, -5 mid 0)
Etapa 3: Tornar o segundo elemento da segunda linha igual a 1:
Linha 1 = Linha 1 - 14 times Linha 2 Linha 3 = Linha 3 + 152 times Linha 2
Etapa 4: Eliminar cccc|c 1 & 0 & -2 & -52 & 0 0 & 1 & 4 & -5 & 0 0 & 0 & 42 & -752 & 0 das outras linhas usando a linha 2:
Linha 3 = 142 times Linha 3 Rightarrow (0, 0, 1, -7584 mid 0)
Após as operações:
x - 2z - 52t = 0 y + 4z - 5t = 0 z - 2528t = 0
Etapa 5: Simplificar a terceira linha:
z = 2528t
Simplificando y + 4(2528t) - 5t = y + 10028t - 5t = y + 10028t - 14028t = y - 4028t = y - 107t = 0 Rightarrow y = 107t para x - 2(2528t) - 52t = x - 5028t - 7028t = x - 12028t = x - 307t = 0 Rightarrow x = 307t .
Agora, temos o sistema escalonado:
(x, y, z, t) = ( 307t, ; 107t, ; 2528t, ; t ) = t ( 307, ; 107, ; 2528, ; 1 )
Resolvendo para as variáveis:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
Expressando as soluções em termos de :
Portanto, o núcleo é gerado por esse vetor.

Passo 4

Determinar a Imagem A = 4 & 1 & -2 & -3 2 & 1 & 1 & -4 6 & -9 & 9 & 0 :
A imagem de ccc|c 4 & 1 & -2 & -3 2 & 1 & 1 & -4 6 & -9 & 9 & 0 é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como ccc|c 4 & 1 & -2 & -3 0 & 0.5 & 2 & -2.5 6 & -9 & 9 & 0 . Para encontrá-la, podemos ver quais as imagens dos vetores da base canônica de ccc|c 4 & 1 & -2 & -3 0 & 0.5 & 2 & -2.5 0 & -9.5 & 12 & 4.5 .
Primeiro, escrevemos a matriz associada a ccc|c 4 & 1 & -2 & -3 0 & 0.5 & 2 & -2.5 0 & 0 & 31 & -45.5 :
Agora, vamos encontrar o posto dessa matriz, que nos dará a dimensão da imagem.
Redução por Eliminação de Gauss:
Linha 2 = Linha 2 - (0.5) Linha 1:
Linha 3 = Linha 3 - 1.5 Linha 1:
Linha 3 = Linha 3 - (-19) Linha 2 (para eliminar ):
Após operações, a matriz se torna:
Como todas as linhas têm pivôs, o posto da matriz é 3. Portanto, a imagem de é um subespaço de de dimensão 3, ou seja, .

Resposta

Núcleo de Núc<=o(T) = t ( 307, ; 107, ; 2528, ; 1 ) mid t in R :
Im(T) = R^3 ú
Imagem de :

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