Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas, e , definidas assim:
Nosso objetivo é calcular a distância entre essas duas retas, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e a fórmula para a distância entre duas retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a reta . Ela é definida por um sistema de duas equações lineares:
Para encontrar uma representação paramétrica de , precisamos resolver esse sistema.
Passo 3
Vamos resolver o sistema para expressar duas variáveis em função de uma terceira, que será o parâmetro. Vamos isolar uma das variáveis.
Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Agora, podemos expressar em função de :
Vamos escolher como parâmetro. Então, .
Agora, substituímos e na segunda equação para encontrar :
Então, a representação paramétrica de é:
Passo 4
Agora temos as duas retas em forma paramétrica:
Para calcular a distância entre elas, vamos verificar se são paralelas ou se são retas que se cruzam (intersecam) ou se são retas secantes (com uma distância mínima).
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor é dado pelos coeficientes dos parâmetros nas equações paramétricas.
Para :
Para :
Observamos que , ou seja, os vetores diretores são opostos. Isso significa que as retas são paralelas.
Passo 6
Como as retas são paralelas, a distância entre elas pode ser calculada usando a fórmula da distância entre uma ponto de uma reta e a outra reta. Vamos escolher um ponto de e calcular a distância até .
Vamos escolher em :
A fórmula para a distância entre o ponto e a reta é:
Onde é um ponto qualquer em e representa o produto vetorial.
Vamos escolher em :
Agora, vamos calcular :
Passo 7
Vamos calcular o produto vetorial :
O produto vetorial é:
= -63, i - 109, j + 20, k
Então,
Passo 8
Agora, vamos calcular a norma do vetor ||d2 times PQ|| = raiz(-63)^2 + (-109)^2 + 20^2 = raiz3969 + 11881 + 400 = raiz16250 approx 127.43 :