Sejam as retas
L1:r 2 x+2 y-z-10=0 x-y-z-22=0 e L2: X=(-7+3 t, 5-t, 9+4 t), t in R
Calcule d(L1, L2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas, L1: 2x + 2y - z - 10 = 0 x - y - z - 22 = 0 e L2: X = (-7 + 3t,, 5 - t,, 9 + 4t), t in R e , definidas assim:
Nosso objetivo é calcular a distância entre essas duas retas, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e a fórmula para a distância entre duas retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a reta 2x + 2y - z = 10 x - y - z = 22 . Ela é definida por um sistema de duas equações lineares:
Para encontrar uma representação paramétrica de , precisamos resolver esse sistema.

Passo 3

Vamos resolver o sistema para expressar duas variáveis em função de uma terceira, que será o parâmetro. Vamos isolar uma das variáveis.
Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
(2x + 2y - z) - (x - y - z) = 10 - 22
2x + 2y - z - x + y + z = -12
x + 3y = -12
Agora, podemos expressar x = -12 - 3y em função de (-12 - 3t) - t - z = 22 :
-12 - 4t - z = 22
Vamos escolher -z = 22 + 12 + 4t como parâmetro. Então, z = -34 - 4t .
Agora, substituímos L1: X = (-12 - 3t,, t,, -34 - 4t), t in R e na segunda equação para encontrar :
Então, a representação paramétrica de é:

Passo 4

Agora temos as duas retas em forma paramétrica:
L1: X = (-12 - 3t,, t,, -34 - 4t)
L2: X = (-7 + 3s,, 5 - s,, 9 + 4s), s in R
Para calcular a distância entre elas, vamos verificar se são paralelas ou se são retas que se cruzam (intersecam) ou se são retas secantes (com uma distância mínima).

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor é dado pelos coeficientes dos parâmetros nas equações paramétricas.
Para d1 = (-3,, 1,, -4) :
d2 = (3,, -1,, 4)
Para :
Observamos que , ou seja, os vetores diretores são opostos. Isso significa que as retas são paralelas.

Passo 6

Como as retas são paralelas, a distância entre elas pode ser calculada usando a fórmula da distância entre uma ponto de uma reta e a outra reta. Vamos escolher um ponto de P = (-12,, 0,, -34) e calcular a distância até d = ||d2 times P Q||||d2|| .
Vamos escolher Q = (-7,, 5,, 9) em PQ = Q - P = (-7 - (-12),, 5 - 0,, 9 - (-34)) = (5,, 5,, 43) :
A fórmula para a distância entre o ponto e a reta é:
Onde é um ponto qualquer em e representa o produto vetorial.
Vamos escolher em :
Agora, vamos calcular :

Passo 7

Vamos calcular o produto vetorial d2 = (3,, -1,, 4) :
PQ = (5,, 5,, 43)
d2 times PQ = i & j & k 3 & -1 & 4 5 & 5 & 43 = i((-1)(43) - (4)(5)) - j((3)(43) - (4)(5)) + k((3)(5) - (-1)(5))
O produto vetorial é:
= i(-43 - 20) - j(129 - 20) + k(15 + 5)
= -63, i - 109, j + 20, k
Então,

Passo 8

Agora, vamos calcular a norma do vetor ||d2 times PQ|| = raiz(-63)^2 + (-109)^2 + 20^2 = raiz3969 + 11881 + 400 = raiz16250 approx 127.43 :
||d2|| = raiz3^2 + (-1)^2 + 4^2 = raiz9 + 1 + 16 = raiz26 approx 5.10
E a norma de :

Resposta

Portanto, a distância entre as retas d(L1, L2) approx 127.435.10 approx 25 e é aproximadamente:

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