Se existirem, determine todas as formas das matrizes erl,
e tais que:
(b) Tem posto 2
(b) Tem posto 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar todas as matrizes A de tamanho 3x2 que tenham posto 2. O conteúdo aqui é de álgebra linear, e para resolver isso, vamos precisar falar sobre posto de uma matriz e independência linear das colunas.
Passo 2
Então, o que é o posto de uma matriz? Basicamente, o posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) que são linearmente independentes. No nosso caso, queremos matrizes 3x2 com posto 2, ou seja, as duas colunas da matriz precisam ser linearmente independentes.
Passo 3
Para entender a independência linear, pense assim: duas colunas são linearmente independentes se não existe um número que multiplique uma coluna para dar a outra. Em termos mais matemáticos, se temos uma matriz A assim:
As colunas são [a; c; e] e [b; d; f]. Essas duas colunas serão linearmente independentes se não conseguirmos encontrar um número k tal que b = k * a, d = k * c e f = k * e ao mesmo tempo.
Passo 4
Para garantir que as colunas são linearmente independentes, podemos usar os determinantes dos menores 2x2 da matriz. Se pelo menos um desses determinantes for diferente de zero, as colunas são independentes e o posto da matriz será 2.
Os menores 2x2 que podemos formar são:
-
Usando as 1ª e 2ª linhas:
a & b c & d = a cdot d - b cdot c -
Usando as 1ª e 3ª linhas:
a & b e & f = a cdot f - b cdot e -
Usando as 2ª e 3ª linhas:
c & d e & f = c cdot f - d cdot e
Passo 5
Então, para a matriz A ter posto 2, pelo menos um desses determinantes precisa ser diferente de zero. Ou seja:
- a * d - b * c ≠ 0, ou
- a * f - b * e ≠ 0, ou
- c * f - d * e ≠ 0.
Isso garante que as colunas não são múltiplos umas das outras e, portanto, são linearmente independentes.
Resposta
Todas as matrizes 3x2 em que pelo menos um dos menores 2x2 tem determinante diferente de zero. Ou seja, matrizes do tipo
onde