Determine, por meio de operações elementares, a inversa da matriz:
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando operações elementares. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com matrizes e suas inversas. Para isso, vamos precisar lembrar como realizar operações nas linhas da matriz para transformar na matriz identidade , e aplicar as mesmas operações na identidade para obter .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz [ccc|ccc -2 & 3 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] junto com a matriz identidade lado a lado. Isso é conhecido como a matriz aumentada :
Passo 3
Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda dessa matriz aumentada em usando operações de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra). À medida que fazemos isso, as operações afetarão a parte da direita, que acabará se tornando .
Passo 4
Vamos começar pela primeira posição da matriz, o elemento [ccc|ccc 1 & -32 & 12 & -12 & 0 & 0 1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] . Queremos que ele seja , que é a identidade. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por :
Passo 5
Agora, queremos eliminar o [ccc|ccc 1 & -32 & 12 & -12 & 0 & 0 0 & -32 & 12 & 12 & 1 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] abaixo do primeiro . Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha:
Passo 6
Fazemos o mesmo para eliminar o [ccc|ccc 1 & -32 & 12 & -12 & 0 & 0 0 & -32 & 12 & 12 & 1 & 0 0 & 12 & -12 & -12 & 0 & 1 ] na terceira linha. Para isso, adicionamos a primeira linha à terceira linha:
Passo 7
Vamos simplificar a segunda linha multiplicando por [ccc|ccc 1 & -32 & 12 & -12 & 0 & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 12 & -12 & -12 & 0 & 1 ] para que o coeficiente do segundo elemento seja :
Passo 8
Agora, vamos eliminar o [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -12 - 32(13) & 0 + 32(23) & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 12 & -12 & -12 & 0 & 1 ] na primeira linha e o [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -12 - 12 & 0 + 1 & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 12 & -12 & -12 & 0 & 1 ] na terceira linha usando a segunda linha.
Para a primeira linha, adicionamos [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 12 & -12 & -12 & 0 & 1 ] vezes a segunda linha à primeira: