Determine, por meio de operações elementares, a inversa da matriz:
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando operações elementares. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com matrizes e suas inversas. Para isso, vamos precisar lembrar como realizar operações nas linhas da matriz para transformar na matriz identidade , e aplicar as mesmas operações na identidade para obter .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz junto com a matriz identidade lado a lado. Isso é conhecido como a matriz aumentada :

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda dessa matriz aumentada em usando operações de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra). À medida que fazemos isso, as operações afetarão a parte da direita, que acabará se tornando .

Passo 4

Vamos começar pela primeira posição da matriz, o elemento . Queremos que ele seja , que é a identidade. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por :

Passo 5

Agora, queremos eliminar o abaixo do primeiro . Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha:

Passo 6

Fazemos o mesmo para eliminar o na terceira linha. Para isso, adicionamos a primeira linha à terceira linha:

Passo 7

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando por para que o coeficiente do segundo elemento seja :

Passo 8

Agora, vamos eliminar o na primeira linha e o na terceira linha usando a segunda linha.
Para a primeira linha, adicionamos vezes a segunda linha à primeira:
Simplificando:
Para a terceira linha, subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos multiplicar a terceira linha por para que o coeficiente do terceiro elemento seja :

Passo 10

Finalmente, vamos eliminar os coeficientes acima do na terceira coluna.
Para a segunda linha, adicionamos vezes a terceira linha:
Simplificando:

Resposta

A inversa da matriz é:

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