Determine, por meio de operações elementares, a inversa da matriz:
b) B=[ccc-2 & 3 & -1 1 & -3 & 1 -1 & 2 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando operações elementares. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com matrizes e suas inversas. Para isso, vamos precisar lembrar como realizar operações nas linhas da matriz para transformar na matriz identidade , e aplicar as mesmas operações na identidade para obter .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz [ccc|ccc -2 & 3 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] junto com a matriz identidade lado a lado. Isso é conhecido como a matriz aumentada :

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda dessa matriz aumentada em usando operações de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra). À medida que fazemos isso, as operações afetarão a parte da direita, que acabará se tornando .

Passo 4

Vamos começar pela primeira posição da matriz, o elemento [ccc|ccc 1 & -32 & 12 & -12 & 0 & 0 1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] . Queremos que ele seja , que é a identidade. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por :

Passo 5

Agora, queremos eliminar o [ccc|ccc 1 & -32 & 12 & -12 & 0 & 0 0 & -32 & 12 & 12 & 1 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] abaixo do primeiro . Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha:

Passo 6

Fazemos o mesmo para eliminar o [ccc|ccc 1 & -32 & 12 & -12 & 0 & 0 0 & -32 & 12 & 12 & 1 & 0 0 & 12 & -12 & -12 & 0 & 1 ] na terceira linha. Para isso, adicionamos a primeira linha à terceira linha:

Passo 7

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando por [ccc|ccc 1 & -32 & 12 & -12 & 0 & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 12 & -12 & -12 & 0 & 1 ] para que o coeficiente do segundo elemento seja :

Passo 8

Agora, vamos eliminar o [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -12 - 32(13) & 0 + 32(23) & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 12 & -12 & -12 & 0 & 1 ] na primeira linha e o [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -12 - 12 & 0 + 1 & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 12 & -12 & -12 & 0 & 1 ] na terceira linha usando a segunda linha.
Para a primeira linha, adicionamos [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 12 & -12 & -12 & 0 & 1 ] vezes a segunda linha à primeira:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 0 & -13 & -12 + 16 & 0 + 13 & 1 ]
Simplificando:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 0 & -13 & -13 & 13 & 1 ]
Para a terceira linha, subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos multiplicar a terceira linha por [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -13 & -13 & -23 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -3 ] para que o coeficiente do terceiro elemento seja :

Passo 10

Finalmente, vamos eliminar os coeficientes acima do [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -13 + 13(1) & -23 + 13(-1) & 0 + 13(-3) 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -3 ] na terceira coluna.
Para a segunda linha, adicionamos [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -3 ] vezes a terceira linha:
Simplificando:

Resposta

A inversa da matriz B^-1 = [ccc -1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 1 & -1 & -3 ] é:

Exercícios relacionados