vetores em . Quais dos vetores e são combinações lineares dos vetores e ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá três vetores em chamados , e . A pergunta é: quais dos vetores , e podem ser escritos como uma combinação desses três vetores? Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear. Basicamente, queremos encontrar se existem números (chamados de coeficientes) que, quando multiplicados pelos vetores , e e somados, resultam no vetor que estamos analisando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que um vetor é uma combinação linear de , e se existirem escalares , e tais que:
Isso se traduz em um sistema de equações que podemos resolver para encontrar , e .
Passo 3
Vamos começar verificando o vetor . Precisamos encontrar , e que satisfaçam:
Passo 4
Vamos resolver o segundo sistema para 4 = a + 3b - c :
Primeira Equação:
-5 = a + 0b + 2c Rightarrow -5 = a + 2c
Segunda Equação:
9 = -2a + 4b + 5c
Terceira Equação:
-7 = a - b + 2c
Quarta Equação:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação para -5 = a + 2c Rightarrow a = -5 - 2c :
Agora substituímos nas outras equações.
Passo 6
Substituindo 4 = (-5 - 2c) + 3b - c Rightarrow 4 = -5 + 3b - 3c Rightarrow 9 = 3b - 3c Rightarrow 3 = b - c na primeira equação: