Sejam V=R^4 e
u1=(1,1,-2,1), u2=(3,0,4,-1), u3=(-1,2,5,2)
vetores em V. Quais dos vetores u=(4,-5,9,-7), v=(3,1,-4,4) e w=(-1,1,0,1) são combinações lineares dos vetores u1, u2 e u3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá três vetores em chamados , e . A pergunta é: quais dos vetores , e podem ser escritos como uma combinação desses três vetores? Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear. Basicamente, queremos encontrar se existem números (chamados de coeficientes) que, quando multiplicados pelos vetores , e e somados, resultam no vetor que estamos analisando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que um vetor x = a cdot u1 + b cdot u2 + c cdot u3 é uma combinação linear de , e se existirem escalares , e tais que:
Isso se traduz em um sistema de equações que podemos resolver para encontrar , e .

Passo 3

Vamos começar verificando o vetor 4 = a cdot 1 + b cdot 3 + c cdot (-1) -5 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 2 9 = a cdot (-2) + b cdot 4 + c cdot 5 -7 = a cdot 1 + b cdot (-1) + c cdot 2 . Precisamos encontrar , e que satisfaçam:

Passo 4

Vamos resolver o segundo sistema para 4 = a + 3b - c :
Primeira Equação:
-5 = a + 0b + 2c Rightarrow -5 = a + 2c
Segunda Equação:
9 = -2a + 4b + 5c
Terceira Equação:
-7 = a - b + 2c
Quarta Equação:

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação para -5 = a + 2c Rightarrow a = -5 - 2c :
Agora substituímos nas outras equações.

Passo 6

Substituindo 4 = (-5 - 2c) + 3b - c Rightarrow 4 = -5 + 3b - 3c Rightarrow 9 = 3b - 3c Rightarrow 3 = b - c na primeira equação:
Então, temos .

Passo 7

Agora, substituímos 9 = -2(-5 - 2c) + 4(c + 3) + 5c e 9 = 10 + 4c + 12 + 5c Rightarrow 9 = 22 + 9c Rightarrow 9c = -13 Rightarrow c = -139 na terceira equação:
Simplificando:

Passo 8

Agora que temos b = c + 3 = -139 + 3 = -139 + 279 = 149 , podemos encontrar a = -5 - 2c = -5 - 2(-139) = -5 + 269 = -459 + 269 = -199 e :

Passo 9

Por fim, verificamos se esses valores satisfazem a quarta equação:
-7 = a - b + 2c
Substituindo:
-7 = -199 - 149 + 2(-139) = -339 - 269 = -599
Como , não há solução consistente. Portanto, o vetor não é uma combinação linear de , e .

Passo 10

Vamos repetir o mesmo processo para o vetor 3 = a + 3b - c 1 = a + 0b + 2c -4 = -2a + 4b + 5c 4 = a - b + 2c :
1 = a + 2c Rightarrow a = 1 - 2c
Resolvendo a segunda equação:
3 = (1 - 2c) + 3b - c Rightarrow 3 = 1 + 3b - 3c Rightarrow 2 = 3b - 3c Rightarrow b = c + 23
Substituindo -4 = -2(1 - 2c) + 4(c + 23) + 5c na primeira equação:
-4 = -2 + 4c + 83 + 5c Rightarrow -4 = -2 + 9c + 83
Substituindo -4 + 2 - 83 = 9c Rightarrow -2 - 83 = 9c Rightarrow -143 = 9c Rightarrow c = -1427 e b = -1427 + 23 = -1427 + 1827 = 427 na terceira equação:
a = 1 - 2(-1427) = 1 + 2827 = 5527
Simplificando:
4 = 5527 - 427 + 2(-1427) = 5127 - 2827 = 2327
Então:
Verificando a quarta equação:
Como , não há solução consistente. Portanto, o vetor não é uma combinação linear de , e .

Passo 11

Por fim, vamos verificar o vetor -1 = a + 3b - c 1 = a + 0b + 2c 0 = -2a + 4b + 5c 1 = a - b + 2c :
1 = a + 2c Rightarrow a = 1 - 2c
Resolvendo a segunda equação:
-1 = (1 - 2c) + 3b - c Rightarrow -1 = 1 + 3b - 3c Rightarrow -2 = 3b - 3c Rightarrow b = c - 23
Substituindo 0 = -2(1 - 2c) + 4(c - 23) + 5c na primeira equação:
0 = -2 + 4c + 4c - 83 + 5c Rightarrow 0 = 13c - 143
Substituindo 13c = 143 Rightarrow c = 1439 = 213 e b = 213 - 23 = 639 - 2639 = -2039 na terceira equação:
a = 1 - 2(213) = 1 - 413 = 913
Simplificando:
1 = 913 - (-2039) + 2(213) = 913 + 2039 + 413 = 2739 + 2039 + 1239 = 5939
Então:
Verificando a quarta equação:
Como , não há solução consistente. Portanto, o vetor não é uma combinação linear de , e .

Resposta

Nenhum dos vetores , ou é uma combinação linear dos vetores , e .

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