Determinar os pontos da reta que:
(a) distam 6 unidades do ponto ;
(b) distam 2 unidades do ponto .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos da reta definida por:
que atendem a duas condições de distância em relação aos pontos e .
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Parte (a): Encontrar os pontos que estão a 6 unidades de distância do ponto .
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos na reta e o ponto é dada pela fórmula:
â
Queremos que essa distância seja igual a 6 unidades. Então, vamos substituir as equações paramétricas da reta na fórmula da distância.

Passo 3

Substituindo , e na fórmula da distância:
Simplificando cada termo:
Dividindo ambos os lados por 3:
Portanto, ou .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a e :
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Passo 5

Parte (b): Encontrar os pontos que estão a 2 unidades de distância do ponto .
Usamos a mesma abordagem da parte (a). A fórmula da distância entre um ponto na reta e o ponto é:
Substituindo as equações paramétricas da reta :
Simplificando cada termo:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Passo 6

Vamos agora encontrar os pontos correspondentes a e :
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

(a) Os pontos são e .
(b) Os pontos são e .

Exercícios relacionados

Decomponha o vetor em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano de equação e outra paralela à reta de equação .
Verifique se a reta está contida no plano .
Duas partículas movimentam-se de acordo com as seguintes equações:
em que indica o tempo. Assinale a alternativa que contém uma afirmação verdadeira.
(A) Se , as trajetórias não se cruzam.
(B) Para todo , há colisão.
© Para todo , não há colisão.
(D) Para todo , as trajetórias se cruzam e para somente um valor de , há colisão.
(E) Se , as trajetórias se cruzam, mas não há colisão.
Dados o ponto e a reta ,
(a) determinar equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular a ;
(b) calcular a distância de a ;
© determinar o ponto simétrico de em relação a .