Determinar os pontos da reta
que:
(a) distam 6 unidades do ponto
;
(b) distam 2 unidades do ponto
.
(a) distam 6 unidades do ponto
(b) distam 2 unidades do ponto
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos da reta
definida por:
que atendem a duas condições de distância em relação aos pontos
e
.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.
Passo 2
Parte (a): Encontrar os pontos que estão a 6 unidades de distância do ponto
.
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos
na reta
e o ponto
é dada pela fórmula:
Queremos que essa distância seja igual a 6 unidades. Então, vamos substituir as equações paramétricas da reta
na fórmula da distância.
Passo 3
Substituindo
,
e
na fórmula da distância:
Simplificando cada termo:
Dividindo ambos os lados por 3:
Portanto,
ou
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a
e
:
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 5
Parte (b): Encontrar os pontos que estão a 2 unidades de distância do ponto
.
Usamos a mesma abordagem da parte (a). A fórmula da distância entre um ponto
na reta
e o ponto
é:
Substituindo as equações paramétricas da reta
:
Simplificando cada termo:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Passo 6
Vamos agora encontrar os pontos correspondentes a
e
:
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Resposta
(a) Os pontos são
e
.
(b) Os pontos são
e
.
Exercícios relacionados
Decomponha o vetor
em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano de equação
e outra paralela à reta de equação
.
Verifique se a reta
está contida no plano
.
Duas partículas movimentam-se de acordo com as seguintes equações:
em que
indica o tempo. Assinale a alternativa que contém uma afirmação verdadeira.
(A) Se , as trajetórias não se cruzam.
(B) Para todo , há colisão.
© Para todo , não há colisão.
(D) Para todo , as trajetórias se cruzam e para somente um valor de
, há colisão.
(E) Se , as trajetórias se cruzam, mas não há colisão.
(A) Se
(B) Para todo
© Para todo
(D) Para todo
(E) Se
Dados o ponto
e a reta
,
(a) determinar equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular a
;
(b) calcular a distância de a
;
© determinar o ponto simétrico de em relação a
.
(a) determinar equações paramétricas da reta que passa por
(b) calcular a distância de
© determinar o ponto simétrico de