Determinar os pontos da reta r:lx=2+lambda y=1+2 lambda z=3+2 lambda que:
(a) distam 6 unidades do ponto A(2,1,3);
(b) distam 2 unidades do ponto B(1,-1,3).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos da reta x = 2 + lambda y = 1 + 2lambda z = 3 + 2lambda definida por:
que atendem a duas condições de distância em relação aos pontos e .
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Parte (a): Encontrar os pontos que estão a 6 unidades de distância do ponto Distância = raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 .
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos na reta e o ponto é dada pela fórmula:
â
Queremos que essa distância seja igual a 6 unidades. Então, vamos substituir as equações paramétricas da reta na fórmula da distância.

Passo 3

Substituindo 6 = raiz( (2 + lambda) - 2)^2 + ( (1 + 2lambda) - 1)^2 + ( (3 + 2lambda) - 3)^2 , 6 = raiz lambda^2 + (2lambda)^2 + (2lambda)^2 6 = raiz lambda^2 + 4lambda^2 + 4lambda^2 6 = raiz9lambda^2 6 = 3|lambda| e |lambda| = 2 na fórmula da distância:
Simplificando cada termo:
Dividindo ambos os lados por 3:
Portanto, ou .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a x = 2 + 2 = 4 y = 1 + 2 times 2 = 5 z = 3 + 2 times 2 = 7 e x = 2 + (-2) = 0 y = 1 + 2 times (-2) = -3 z = 3 + 2 times (-2) = -1 :
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Passo 5

Parte (b): Encontrar os pontos que estão a 2 unidades de distância do ponto 2 = raiz(x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 .
Usamos a mesma abordagem da parte (a). A fórmula da distância entre um ponto 2 = raiz( (2 + lambda) - 1)^2 + ( (1 + 2lambda) + 1)^2 + ( (3 + 2lambda) - 3)^2 na reta 2 = raiz (1 + lambda)^2 + (2 + 2lambda)^2 + (2lambda)^2 2 = raiz (1 + 2lambda + lambda^2) + (4 + 8lambda + 4lambda^2) + 4lambda^2 2 = raiz 1 + 2lambda + lambda^2 + 4 + 8lambda + 4lambda^2 + 4lambda^2 2 = raiz 5 + 10lambda + 9lambda^2 e o ponto 4 = 5 + 10lambda + 9lambda^2 0 = 9lambda^2 + 10lambda + 1 é:
lambda = -10 pm raiz10^2 - 4 times 9 times 1 2 times 9 lambda = -10 pm raiz100 - 36 18 lambda = -10 pm raiz64 18 lambda = -10 pm 8 18
Substituindo as equações paramétricas da reta lambda1 = -10 + 8 18 = -2 18 = -19 lambda2 = -10 - 8 18 = -18 18 = -1 :
Simplificando cada termo:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Passo 6

Vamos agora encontrar os pontos correspondentes a x = 2 + (-19) = 189 - 19 = 179 y = 1 + 2 times (-19) = 1 - 29 = 79 z = 3 + 2 times (-19) = 3 - 29 = 259 e x = 2 + (-1) = 1 y = 1 + 2 times (-1) = -1 z = 3 + 2 times (-1) = 1 :
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

(a) Os pontos são e .
(b) Os pontos são e .

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