Duas partículas movimentam-se de acordo com as seguintes equações:
X(t)=(-m, m, 0)+t(1,-1,1), X(t)=(-1,1,-2)+t(1,-1,2)
em que t indica o tempo. Assinale a alternativa que contém uma afirmação verdadeira.
(A) Se m neq 0, as trajetórias não se cruzam.
(B) Para todo m in R, há colisão.
© Para todo m in R, não há colisão.
(D) Para todo m in R, as trajetórias se cruzam e para somente um valor de m, há colisão.
(E) Se m=1, as trajetórias se cruzam, mas não há colisão.

Passo 1

Vamos lá! Temos duas partículas que se movem no espaço de acordo com as equações dadas:
X1(t) = (-m, m, 0) + t(1, -1, 1)
X2(t) = (-1, 1, -2) + t(1, -1, 2)
O conteúdo que vamos usar aqui é de Vetores e Movimento no Espaço. Precisamos verificar se, para algum valor de m, as trajetórias das duas partículas se cruzam, ou seja, se elas ocupam o mesmo ponto no espaço ao mesmo tempo.

Passo 2

Para as trajetórias se cruzarem, deve existir um tempo t em que as posições das duas partículas são iguais. Então, igualamos as duas equações:
(-m, m, 0) + t(1, -1, 1) = (-1, 1, -2) + t(1, -1, 2)

Passo 3

Vamos igualar cada componente (x, y, z) das posições:
Para a componente x:
-m + t = -1 + t
Para a componente y:
m - t = 1 - t
Para a componente z:
0 + t = -2 + 2t

Passo 4

Vamos resolver cada equação:
Componente x:
-m + t = -1 + t
Subtraindo t de ambos os lados:
-m = -1 Rightarrow m = 1
Componente y:
m - t = 1 - t
Aqui, se subtrairmos -t de ambos os lados, cancelamos t:
m = 1
Componente z:
t = -2 + 2t
Subtraindo t de ambos os lados:
0 = -2 + t Rightarrow t = 2

Passo 5

Encontramos que m deve ser igual a 1 para que as componentes x e y coincidam, e o tempo t nesse caso é 2.
Então, para m = 1, as posições das duas partículas serão iguais no tempo t = 2, ou seja, elas se cruzam nesse instante.

Resposta

(A alternativa correta é a D): Para todo m in R, as trajetórias se cruzam e para somente um valor de m, há colisão.)

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