Duas partículas movimentam-se de acordo com as seguintes equações:
em que
indica o tempo. Assinale a alternativa que contém uma afirmação verdadeira.
(A) Se
, as trajetórias não se cruzam.
(B) Para todo
, há colisão.
© Para todo
, não há colisão.
(D) Para todo
, as trajetórias se cruzam e para somente um valor de
, há colisão.
(E) Se
, as trajetórias se cruzam, mas não há colisão.
(A) Se
(B) Para todo
© Para todo
(D) Para todo
(E) Se
Passo 1
Vamos lá! Temos duas partículas que se movem no espaço de acordo com as equações dadas:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Vetores e Movimento no Espaço. Precisamos verificar se, para algum valor de
, as trajetórias das duas partículas se cruzam, ou seja, se elas ocupam o mesmo ponto no espaço ao mesmo tempo.
Passo 2
Para as trajetórias se cruzarem, deve existir um tempo
em que as posições das duas partículas são iguais. Então, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos igualar cada componente (x, y, z) das posições:
Para a componente x:
Para a componente y:
Para a componente z:
Passo 4
Vamos resolver cada equação:
Componente x:
Subtraindo
de ambos os lados:
Componente y:
Aqui, se subtrairmos
de ambos os lados, cancelamos
:
Componente z:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Encontramos que
deve ser igual a 1 para que as componentes x e y coincidam, e o tempo
nesse caso é 2.
Então, para
, as posições das duas partículas serão iguais no tempo
, ou seja, elas se cruzam nesse instante.
Resposta
(A alternativa correta é a D): Para todo
, as trajetórias se cruzam e para somente um valor de
, há colisão.)