Dados o ponto
e o vetor
, obtenha os pontos
e
de modo que os pontos
e
sejam colineares,
e
pertença ao plano coordenado
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos:
- Um ponto
. - Um vetor
.
Queremos encontrar os pontos
e
que satisfazem as seguintes condições:
- Os pontos
, e estão alinhados (colineares). - O vetor
é igual ao vetor . - O ponto
está no plano coordenado (ou seja, tem a coordenada ).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto
. Sabemos que:
E
, então:
Então,
.
Passo 3
Como os pontos
,
e
são colineares, o vetor
deve ser múltiplo do vetor
. Ou seja:
Onde
é um número real.
Vamos expressar as coordenadas de
em termos de
:
Então,
.
Passo 4
Sabemos que
. Então, podemos expressar
em termos de
:
Então,
.
Passo 5
A condição extra é que
esteja no plano
, o qual é definido por
. Portanto, a coordenada
de
deve ser zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor nas coordenadas de
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos procurados são:
Exercícios relacionados
Encontre para que valores de
a equação
representa o conjunto vazio, um ponto ou uma esfera.
Dizemos que uma função
é limitada quando existe
tal que
para todo
. Prove que o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de
, o qual é gerado pelas funções limitadas positivas.
Para cada um dos conjuntos
, onde
é o espaço vetorial indicado, encontre o subespaço
gerado por
.
(d) .
(d)
Use vetores para mostrar que
e
são vértices de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo reto?