Dados o ponto e o vetor , obtenha os pontos C e D de modo que os pontos A, B e C sejam colineares, A B=C D e D pertença ao plano coordenado piX Y.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos:
Um ponto .
Um vetor .
Queremos encontrar os pontos e que satisfazem as seguintes condições:
Os pontos , e estão alinhados (colineares).
O vetor é igual ao vetor .
O ponto está no plano coordenado (ou seja, tem a coordenada ).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto u = AB = (1, 2, 3) . Sabemos que:
B = A + u = (1 + 1, 1 + 2, 1 + 3) = (2, 3, 4)
E , então:
Então, .
Passo 3
Como os pontos AC = k cdot AB , C = A + AC = (1, 1, 1) + k cdot (1, 2, 3) = (1 + k, 1 + 2k, 1 + 3k) e são colineares, o vetor deve ser múltiplo do vetor . Ou seja:
Onde é um número real.
Vamos expressar as coordenadas de em termos de :
Então, .
Passo 4
Sabemos que D = C + CD = (1 + k + 1, 1 + 2k + 2, 1 + 3k + 3) = (2 + k, 3 + 2k, 4 + 3k) . Então, podemos expressar em termos de :
Então, .
Passo 5
A condição extra é que 4 + 3k = 0 esteja no plano 3k = -4 implies k = -43 , o qual é definido por . Portanto, a coordenada de deve ser zero:
Resolvendo para :
Passo 6
Agora que encontramos C = (1 + (-43),, 1 + 2(-43),, 1 + 3(-43)) = (-13,, -53,, -3) , vamos substituir esse valor nas coordenadas de D = (2 + (-43),, 3 + 2(-43),, 0) = (23,, -23,, 0) e .