Dados o ponto e o vetor , obtenha os pontos e de modo que os pontos e sejam colineares, e pertença ao plano coordenado .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos:
  • Um ponto .
  • Um vetor .
Queremos encontrar os pontos e que satisfazem as seguintes condições:
  1. Os pontos , e estão alinhados (colineares).
  2. O vetor é igual ao vetor .
  3. O ponto está no plano coordenado (ou seja, tem a coordenada ).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto . Sabemos que:
E , então:
Então, .

Passo 3

Como os pontos , e são colineares, o vetor deve ser múltiplo do vetor . Ou seja:
Onde é um número real.
Vamos expressar as coordenadas de em termos de :
Então, .

Passo 4

Sabemos que . Então, podemos expressar em termos de :
Então, .

Passo 5

A condição extra é que esteja no plano , o qual é definido por . Portanto, a coordenada de deve ser zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor nas coordenadas de e .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos procurados são:

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representa o conjunto vazio, um ponto ou uma esfera.
Dizemos que uma função é limitada quando existe tal que para todo . Prove que o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de , o qual é gerado pelas funções limitadas positivas.
Para cada um dos conjuntos , onde é o espaço vetorial indicado, encontre o subespaço gerado por .
(d) .
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