Use vetores para mostrar que e são vértices de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo reto?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando vetores! A questão nos dá três pontos no espaço tridimensional: , e . Nosso objetivo é mostrar que esses pontos formam um triângulo retângulo e descobrir em qual vértice está o ângulo reto. Para isso, vamos usar os conceitos de vetores e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
Vetor
Vetor
Vetor
Passo 3
Agora que temos os vetores, precisamos verificar se dois deles são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar entre os pares de vetores:
Passo 5
Observamos que apenas o produto escalar entre e é igual a zero:
Isso significa que os vetores e são perpendiculares, indicando que o ângulo entre eles é reto.
Resposta
Portanto, o triângulo formado pelos pontos , e é retângulo, e o ângulo reto está no vértice .