Use vetores para mostrar que A(2,2,1), B(3,2,1) e C(2,2,6) são vértices de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo reto?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando vetores! A questão nos dá três pontos no espaço tridimensional: , e . Nosso objetivo é mostrar que esses pontos formam um triângulo retângulo e descobrir em qual vértice está o ângulo reto. Para isso, vamos usar os conceitos de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor

Passo 3

Agora que temos os vetores, precisamos verificar se dois deles são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e é dado por:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre os pares de vetores:

Passo 5

Observamos que apenas o produto escalar entre AB cdot AC = 0 e é igual a zero:
Isso significa que os vetores e são perpendiculares, indicando que o ângulo entre eles é reto.

Resposta

Portanto, o triângulo formado pelos pontos , e é retângulo, e o ângulo reto está no vértice .

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