Use vetores para mostrar que e são vértices de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo reto?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando vetores! A questão nos dá três pontos no espaço tridimensional: , e . Nosso objetivo é mostrar que esses pontos formam um triângulo retângulo e descobrir em qual vértice está o ângulo reto. Para isso, vamos usar os conceitos de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor

Passo 3

Agora que temos os vetores, precisamos verificar se dois deles são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre os pares de vetores:

Passo 5

Observamos que apenas o produto escalar entre e é igual a zero:
Isso significa que os vetores e são perpendiculares, indicando que o ângulo entre eles é reto.

Resposta

Portanto, o triângulo formado pelos pontos , e é retângulo, e o ângulo reto está no vértice .

Exercícios relacionados

Para cada um dos conjuntos , onde é o espaço vetorial indicado, encontre o subespaço gerado por .
(d) .
Dados o ponto e o vetor , obtenha os pontos e de modo que os pontos e sejam colineares, e pertença ao plano coordenado .
Dados os vetores e , calcule:
(a) O produto interno u.v;
(b) O produto vetorial ;
© A área do paralelogramo formado pelos vetores e .
Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de :