Encontre para que valores de a equação
representa o conjunto vazio, um ponto ou uma esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau envolvendo as variáveis , e . O enunciado pede para descobrir para quais valores de essa equação representa:
  • O conjunto vazio (ou seja, não tem solução),
  • Um ponto específico,
  • Ou uma esfera.
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especialmente equações da esfera e a técnica de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Nossa missão é reorganizar essa equação para uma forma que a gente reconheça como a equação de uma esfera.

Passo 3

Vamos reescrever a equação agrupando os termos de , e :
Agora, vamos completar o quadrado para e . Completar o quadrado é uma técnica que ajuda a transformar expressões quadráticas em uma forma que facilita identificar o centro e o raio de uma esfera.

Passo 4

Para completar o quadrado em :
E para :
Substituindo de volta na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar os termos constantes:
Agora, isolamos os termos quadráticos:

Passo 6

A equação agora está na forma padrão de uma esfera:
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que:
  • Centro da esfera:
  • Raio da esfera:

Passo 7

Agora, para que a esfera exista, o raio deve ser um número real e não imaginário. Isso acontece quando o que está dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa inequação.

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar os valores de que anulam a expressão:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses valores:
  1. Para :
    ã
  2. Para :
  3. Para :

Passo 9

Então, a equação representa:
  • Uma esfera quando ou (raio real positivo).
  • Um ponto quando o raio . Isso ocorre quando , ou seja, ou .
  • O conjunto vazio quando não há soluções reais, ou seja, quando , o que acontece para .

Resposta

A equação representa:
  • Uma esfera para todos os valores de tais que ou .
  • Um ponto quando ou .
  • O conjunto vazio para valores de entre e (isto é, ).

Exercícios relacionados

Dizemos que uma função é limitada quando existe tal que para todo . Prove que o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de , o qual é gerado pelas funções limitadas positivas.
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
© e , sendo dada.
Dados o ponto e o vetor , obtenha os pontos e de modo que os pontos e sejam colineares, e pertença ao plano coordenado .
Para cada um dos conjuntos , onde é o espaço vetorial indicado, encontre o subespaço gerado por .
(d) .