Encontre para que valores de
a equação
representa o conjunto vazio, um ponto ou uma esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau envolvendo as variáveis
,
e
. O enunciado pede para descobrir para quais valores de
essa equação representa:
- O conjunto vazio (ou seja, não tem solução),
- Um ponto específico,
- Ou uma esfera.
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especialmente equações da esfera e a técnica de completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Nossa missão é reorganizar essa equação para uma forma que a gente reconheça como a equação de uma esfera.
Passo 3
Vamos reescrever a equação agrupando os termos de
,
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para
e
. Completar o quadrado é uma técnica que ajuda a transformar expressões quadráticas em uma forma que facilita identificar o centro e o raio de uma esfera.
Passo 4
Para completar o quadrado em
:
E para
:
Substituindo de volta na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar os termos constantes:
Agora, isolamos os termos quadráticos:
Passo 6
A equação agora está na forma padrão de uma esfera:
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que:
- Centro da esfera:
- Raio da esfera:
Passo 7
Agora, para que a esfera exista, o raio
deve ser um número real e não imaginário. Isso acontece quando o que está dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa inequação.
Passo 8
Primeiro, vamos encontrar os valores de
que anulam a expressão:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses valores:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 9
Então, a equação representa:
- Uma esfera quando
ou (raio real positivo). - Um ponto quando o raio
. Isso ocorre quando , ou seja, ou . - O conjunto vazio quando não há soluções reais, ou seja, quando
, o que acontece para .
Resposta
A equação representa:
- Uma esfera para todos os valores de
tais que ou . - Um ponto quando
ou . - O conjunto vazio para valores de
entre e (isto é, ).