Encontre para que valores de lambda in R a equação
x^2+y^2+z^2+2 lambda x+4 lambda y-5 lambda=0
representa o conjunto vazio, um ponto ou uma esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau envolvendo as variáveis , e . O enunciado pede para descobrir para quais valores de essa equação representa:
  • O conjunto vazio (ou seja, não tem solução),
  • Um ponto específico,
  • Ou uma esfera.
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especialmente equações da esfera e a técnica de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
x^2 + y^2 + z^2 + 2lambda x + 4lambda y - 5lambda = 0
Nossa missão é reorganizar essa equação para uma forma que a gente reconheça como a equação de uma esfera.

Passo 3

Vamos reescrever a equação agrupando os termos de x^2 + 2lambda x + y^2 + 4lambda y + z^2 = 5lambda , e :
Agora, vamos completar o quadrado para e . Completar o quadrado é uma técnica que ajuda a transformar expressões quadráticas em uma forma que facilita identificar o centro e o raio de uma esfera.

Passo 4

Para completar o quadrado em x^2 + 2lambda x = (x + lambda)^2 - lambda^2 :
y^2 + 4lambda y = (y + 2lambda)^2 - (2lambda)^2 = (y + 2lambda)^2 - 4lambda^2
E para (x + lambda)^2 - lambda^2 + (y + 2lambda)^2 - 4lambda^2 + z^2 = 5lambda :
Substituindo de volta na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar os termos constantes:
(x + lambda)^2 + (y + 2lambda)^2 + z^2 - lambda^2 - 4lambda^2 = 5lambda
(x + lambda)^2 + (y + 2lambda)^2 + z^2 - 5lambda^2 = 5lambda
Agora, isolamos os termos quadráticos:
(x + lambda)^2 + (y + 2lambda)^2 + z^2 = 5lambda + 5lambda^2

Passo 6

A equação agora está na forma padrão de uma esfera:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = R^2
Comparando com a nossa equação:
(x + lambda)^2 + (y + 2lambda)^2 + z^2 = 5lambda(1 + lambda)
Podemos ver que:
  • Centro da esfera:
  • Raio da esfera:

Passo 7

Agora, para que a esfera exista, o raio 5lambda(1 + lambda) >= 0 deve ser um número real e não imaginário. Isso acontece quando o que está dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa inequação.

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar os valores de 5lambda(1 + lambda) = 0 implies lambda = 0 ou lambda = -1 que anulam a expressão:
lambda < -1 implies 5lambda(1 + lambda) > 0 (pois dois negativos dão positivo)
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses valores:
  1. Para lambda in (-1, 0) implies 5lambda(1 + lambda) < 0 :
    lambda > 0 implies 5lambda(1 + lambda) > 0 ã
  2. Para :
  3. Para :

Passo 9

Então, a equação representa:
  • Uma esfera quando ou (raio real positivo).
  • Um ponto quando o raio . Isso ocorre quando , ou seja, ou .
  • O conjunto vazio quando não há soluções reais, ou seja, quando , o que acontece para .

Resposta

A equação representa:
  • Uma esfera para todos os valores de tais que ou .
  • Um ponto quando ou .
  • O conjunto vazio para valores de entre e (isto é, ).

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