Um trapézio é dito isósceles quando os seus lados não paralelos são congruentes. O trapézio isósceles A B C D tem lados A B, B C, C D e A D, onde A D é paralelo ao lado B C. Se A=(0,0), B=(0,2) e C=(2,3), determine o vértice D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um trapézio isósceles , onde os lados não paralelos são iguais. A gente sabe as coordenadas dos pontos , e , e precisa encontrar o ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas no plano cartesiano e as propriedades dos trapézios isósceles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um trapézio, duas bases são paralelas. No nosso caso, foi dado que m = y2 - y1x2 - x1 é paralelo a mBC = 3 - 22 - 0 = 12 . Para verificar a paralelismo, a gente olha as inclinações das retas. A inclinação de uma reta é dada por:
Vamos calcular a inclinação de . Temos os pontos e :
Como é paralelo a , a inclinação de também será .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta y = m x + b . Sabemos que ela passa pelo ponto 0 = 12(0) + b Rightarrow b = 0 e tem inclinação y = 12x . A equação da reta fica:
Onde e é o coeficiente linear. Como passa pela origem :
Então, a equação de é:

Passo 4

Sabemos que está em , então as coordenadas de devem satisfazer a equação . Vamos chamar de .
Além disso, como o trapézio é isósceles, os lados não paralelos e são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento.

Passo 5

Vamos calcular o comprimento de d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 . Os pontos são dAB = raiz(0-0)^2 + (2-0)^2 = raiz0 + 4 = 2 e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando:
Então, o comprimento de é 2.

Passo 6

Agora, vamos expressar o comprimento de dCD = raiz(x - 2)^2 + (12x - 3)^2 . Os pontos são 2 = raiz(x - 2)^2 + (12x - 3)^2 e . Aplicando a fórmula da distância:
Como , temos:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar 4 = (x - 2)^2 + (12x - 3)^2 . Primeiro, quadramos ambos os lados para eliminar a raiz:
4 = (x^2 - 4x + 4) + (14x^2 - 3x + 9)
Agora, expandimos os termos:
4 = x^2 - 4x + 4 + 14x^2 - 3x + 9
Somando tudo:
4 = 54x^2 - 7x + 13

Passo 8

Vamos reorganizar a equação:
54x^2 - 7x + 13 - 4 = 0
54x^2 - 7x + 9 = 0
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
5x^2 - 28x + 36 = 0

Passo 9

Agora, vamos resolver a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde x = 28 pm raiz6410 = 28 pm 810 , x = 28 + 810 = 3610 = 3.6 e x = 28 - 810 = 2010 = 2 .
Calculando o discriminante:
Agora, substituímos:
Então, temos duas soluções:

Passo 10

Vamos verificar qual valor de y = 12 times 3.6 = 1.8 faz sentido no contexto do problema. Se , então . Mas olhando para o ponto , isso colocaria abaixo de , o que não é possível num trapézio com as coordenadas dadas.
Portanto, a solução válida é .
Agora, calculamos o :

Resposta

O vértice tem coordenadas .

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