Uma força de 2 libras distende uma mola em 1 pé. Uma massa pesando 3,2 libras é presa à mola e o sistema é entāo imerso em um meio que oferece uma força de amortecimento igual a 0,4 multiplicado pela velocidade instantânea.
a) Encontre a equação do movimento admitindo que a massa seja inicialmente solta do repouso a partir do ponto 1 pé acima da equilibrio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola-amortecedor e precisamos encontrar a equação do movimento desse sistema. Basicamente, vamos usar conceitos de física e matemática, especificamente de movimentos vibratórios e equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como calcular a constante da mola, a massa do objeto e o efeito do amortecimento no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a constante da mola, que é uma medida de quanta força a mola precisa para se esticar ou comprimir uma certa distância. A lei de Hooke nos diz que a força (F) necessária para esticar uma mola é proporcional à distância (x) que ela é esticada:
No nosso caso, sabemos que uma força de 2 libras estica a mola em 1 pé. Então, podemos resolver para :
Passo 3
Agora, vamos encontrar a massa do objeto preso à mola. A massa () pode ser encontrada a partir do peso () usando a relação:
Onde é a aceleração devido à gravidade. Porém, como estamos trabalhando com unidades de libra (lb) e pé (ft), podemos considerar . Para simplificar, vamos usar :
Passo 4
O sistema também tem um amortecedor que oferece uma força de amortecimento proporcional à velocidade instantânea ( ou ). A força de amortecimento () é dada por:
Onde é a constante de amortecimento. Pelo enunciado, .
Passo 5
Agora, vamos montar a equação do movimento. Para um sistema massa-mola-amortecedor, a equação diferencial é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 0,1 para facilitar os cálculos:
Passo 7
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento do sistema. Ela mostra como a posição () da massa varia com o tempo (), levando em conta a massa, a mola e o amortecedor.