Uma força de 2 libras distende uma mola em 1 pé. Uma massa pesando 3,2 libras é presa à mola e o sistema é entāo imerso em um meio que oferece uma força de amortecimento igual a 0,4 multiplicado pela velocidade instantânea.
a) Encontre a equação do movimento admitindo que a massa seja inicialmente solta do repouso a partir do ponto 1 pé acima da (2,0) equilibrio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola-amortecedor e precisamos encontrar a equação do movimento desse sistema. Basicamente, vamos usar conceitos de física e matemática, especificamente de movimentos vibratórios e equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como calcular a constante da mola, a massa do objeto e o efeito do amortecimento no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a constante da mola, que é uma medida de quanta força a mola precisa para se esticar ou comprimir uma certa distância. A lei de Hooke nos diz que a força (F) necessária para esticar uma mola é proporcional à distância (x) que ela é esticada:
F = k times x
No nosso caso, sabemos que uma força de 2 libras estica a mola em 1 pé. Então, podemos resolver para k = Fx = 2, lb1, ft = 2, lb/ft :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a massa do objeto preso à mola. A massa ( W = m times g ) pode ser encontrada a partir do peso ( m = 3,2, lb32, ft/s^2 = 0,1, slugs ) usando a relação:
Onde é a aceleração devido à gravidade. Porém, como estamos trabalhando com unidades de libra (lb) e pé (ft), podemos considerar . Para simplificar, vamos usar :

Passo 4

O sistema também tem um amortecedor que oferece uma força de amortecimento proporcional à velocidade instantânea ( Fd = c times x' ou ). A força de amortecimento ( ) é dada por:
Onde é a constante de amortecimento. Pelo enunciado, .

Passo 5

Agora, vamos montar a equação do movimento. Para um sistema massa-mola-amortecedor, a equação diferencial é:
m times x'' + c times x' + k times x = 0
Substituindo os valores que encontramos:
0,1 times x'' + 0,4 times x' + 2 times x = 0

Passo 6

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 0,1 para facilitar os cálculos:
x'' + 4 times x' + 20 times x = 0

Passo 7

Essa é a equação diferencial que descreve o movimento do sistema. Ela mostra como a posição ( ) da massa varia com o tempo ( ), levando em conta a massa, a mola e o amortecedor.

Resposta

A equação do movimento do sistema é:
x'' + 4,x' + 20,x = 0

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