Dados o pontos A(1,2,1), B(3,2,1) e C(1,1,2). Calcule:
d) a área do triângulo ABC raiz2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional: A(1,2,1), B(3,2,1) e C(1,1,2). Precisamos calcular a área do triângulo formado por esses três pontos, ou seja, o triângulo ABC. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria espacial e álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área de triângulos no espaço.

Passo 2

Para calcular a área do triângulo ABC, podemos usar a fórmula que envolve o produto vetorial de dois vetores que formam os lados do triângulo. A fórmula é:
Área = 12 | AB times AC | Á
Onde:
  • AB é o vetor que vai de A até B.
  • AC é o vetor que vai de A até C.
  • times representa o produto vetorial.
  • | cdot | denota o módulo (comprimento) do vetor resultante.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e AC. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos.
Vetor AB:
AB = B - A = (3-1, 2-2, 1-1) = (2, 0, 0)
Vetor AC:
AC = C - A = (1-1, 1-2, 2-1) = (0, -1, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times AC. O produto vetorial de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u times v = (u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1)
Aplicando isso aos vetores AB = (2, 0, 0) e AC = (0, -1, 1):
AB times AC = i & j & k 2 & 0 & 0 0 & -1 & 1 = (0 cdot 1 - 0 cdot (-1), 0 cdot 0 - 2 cdot 1, 2 cdot (-1) - 0 cdot 0 ) = (0, -2, -2)

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o módulo do vetor resultante do produto vetorial:
| AB times AC | = raiz0^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da área:
Área = 12 | AB times AC | = 12 times 2raiz2 = raiz2 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é raiz2 unidades de área.

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