Seja (e1, e2, e3) uma base ortonormal. Dado um vetor u, prove que
u=(u cdot e1) e1+(u cdot e2) e2+(u cdot e3) e3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma base ortonormal formada pelos vetores , e . O exercício pede para provar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação desses vetores da base, onde cada componente é o produto interno de com o respectivo vetor da base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como usar o produto interno (ou “dot product”) para encontrar as componentes do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos mutuamente perpendiculares (ortogonais) e têm comprimento 1 (unitários). Isso significa que:
ei cdot ej = 1 & se i = j 0 & se i neq j
Isso é super útil porque simplifica muito os cálculos com produtos internos.

Passo 3

Agora, considere o vetor u = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 . A ideia é expressar como uma combinação linear dos vetores da base:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e .

Passo 4

Para encontrar cada coeficiente u cdot ei = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3) cdot ei , vamos usar o produto interno. Vamos fazer o seguinte: aplique o produto interno de com de ambos os lados da equação acima:

Passo 5

Por causa da ortonormalidade da base, sabemos que u cdot ei = ai se e se . Então, a expressão acima simplifica para:
Isso significa que cada coeficiente é simplesmente o produto interno de com .

Passo 6

Agora que temos u = (u cdot e1) e1 + (u cdot e2) e2 + (u cdot e3) e3 , podemos substituir de volta na expressão original da combinação linear:

Resposta

Portanto, mostramos que qualquer vetor u = (u cdot e1) e1 + (u cdot e2) e2 + (u cdot e3) e3 pode ser escrito como:

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