Seja uma base ortonormal. Dado um vetor , prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma base ortonormal formada pelos vetores , e . O exercício pede para provar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação desses vetores da base, onde cada componente é o produto interno de com o respectivo vetor da base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como usar o produto interno (ou “dot product”) para encontrar as componentes do vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos mutuamente perpendiculares (ortogonais) e têm comprimento 1 (unitários). Isso significa que:
Isso é super útil porque simplifica muito os cálculos com produtos internos.
Passo 3
Agora, considere o vetor . A ideia é expressar como uma combinação linear dos vetores da base:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e .
Passo 4
Para encontrar cada coeficiente , vamos usar o produto interno. Vamos fazer o seguinte: aplique o produto interno de com de ambos os lados da equação acima:
Passo 5
Por causa da ortonormalidade da base, sabemos que se e se . Então, a expressão acima simplifica para:
Isso significa que cada coeficiente é simplesmente o produto interno de com .
Passo 6
Agora que temos , podemos substituir de volta na expressão original da combinação linear:
Resposta
Portanto, mostramos que qualquer vetor pode ser escrito como: