Dados os pontos A=(-1,-4,5), B=(2,-2,1), C=(-1,6,3) e D=(2,-12,3), faça o que se pede.
a) Verifique se os pontos A, B, C e D formam um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se os pontos A=(-1,-4,5), B=(2,-2,1), C=(-1,6,3) e D=(2,-12,3) formam um paralelogramo. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os vetores entre os pontos e verificar se os vetores opostos são iguais, o que caracteriza um paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que representam os lados do quadrilátero formado pelos pontos A, B, C e D. Vamos considerar os vetores AB, AD, DC e CB.

Passo 3

Vamos calcular o vetor AB. A fórmula para calcular o vetor entre dois pontos P=(x1,y1,z1) e Q=(x2,y2,z2) é:
PQ = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
Aplicando para AB:
AB = (2 - (-1), -2 - (-4), 1 - 5) = (3, 2, -4)

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor AD:
AD = (2 - (-1), -12 - (-4), 3 - 5) = (3, -8, -2)

Passo 5

Vamos calcular o vetor DC. Primeiro, calculamos os componentes de D para C:
DC = (-1 - 2, 6 - (-12), 3 - 3) = (-3, 18, 0)

Passo 6

Por último, vamos calcular o vetor CB:
CB = (2 - (-1), -2 - 6, 1 - 3) = (3, -8, -2)

Passo 7

Agora que temos todos os vetores, vamos comparar os vetores opostos do quadrilátero:
  • AB = (3, 2, -4)
  • DC = (-3, 18, 0)
E:
  • AD = (3, -8, -2)
  • CB = (3, -8, -2)
Para que seja um paralelogramo, os vetores opostos devem ser iguais ou opostos. Observamos que:
  • AB não é igual a DC (nem mesmo opostos).
  • AD é igual a CB.

Resposta

Os pontos A, B, C e D não formam um paralelogramo, pois nem todos os vetores opostos são iguais.

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