Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. 5 x^2+4 x y+2 y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação 5x^2 + 4xy + 2y^2 = 1 e precisa transformar ela na forma canônica de uma cônica, usando rotação ou translação de eixos, e depois identificar de qual cônica estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra envolvendo matrizes e transformações de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a equação tem um termo misto, o xy. Esse termo indica que o gráfico da equação está rotado em relação aos eixos coordenados. Nosso objetivo é eliminar esse termo para facilitar a identificação da cônica. Para fazer isso, vamos usar uma rotação de eixos.

Passo 3

A rotação de eixos envolve trocar as coordenadas (x, y) por novas coordenadas (x', y') de tal forma que o termo xy desapareça. A fórmula para eliminar o termo xy é encontrar o ângulo theta que satisfaz:
tan(2theta) = BA - C
Onde na nossa equação, A = 5, B = 4, e C = 2. Vamos calcular theta.

Passo 4

Calculando tan(2theta):
tan(2theta) = 45 - 2 = 43
Então,
2theta = arctan(43)
theta = 12 arctan(43)

Passo 5

Agora que temos o ângulo theta, podemos usar as fórmulas de rotação para transformar as coordenadas:
x = x'costheta - y'sintheta
y = x'sintheta + y'costheta
Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, eliminamos o termo xy.

Passo 6

Após a substituição e simplificação, chegamos a uma equação sem o termo x'y'. A equação canônica resultante terá a forma de uma elipse ou hipérbole, dependendo dos coeficientes. Vamos verificar os novos coeficientes para identificar a cônica.

Passo 7

Calculando os novos coeficientes após a rotação, encontramos:
Ax'^2 + Cy'^2 = 1
Onde A e C são positivos e diferentes, o que caracteriza uma elipse.

Resposta

A equação canônica da cônica é uma elipse, obtida após uma rotação de eixos que elimina o termo xy. A forma final é Ax'^2 + Cy'^2 = 1, onde A e C são coeficientes positivos determinados pela rotação.

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