Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação
e precisa transformar ela na forma canônica de uma cônica, usando rotação ou translação de eixos, e depois identificar de qual cônica estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra envolvendo matrizes e transformações de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a equação tem um termo misto, o
. Esse termo indica que o gráfico da equação está rotado em relação aos eixos coordenados. Nosso objetivo é eliminar esse termo para facilitar a identificação da cônica. Para fazer isso, vamos usar uma rotação de eixos.
Passo 3
A rotação de eixos envolve trocar as coordenadas
por novas coordenadas
de tal forma que o termo
desapareça. A fórmula para eliminar o termo
é encontrar o ângulo
que satisfaz:
Onde na nossa equação,
,
, e
. Vamos calcular
.
Passo 4
Calculando
:
Então,
Passo 5
Agora que temos o ângulo
, podemos usar as fórmulas de rotação para transformar as coordenadas:
Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, eliminamos o termo
.
Passo 6
Após a substituição e simplificação, chegamos a uma equação sem o termo
. A equação canônica resultante terá a forma de uma elipse ou hipérbole, dependendo dos coeficientes. Vamos verificar os novos coeficientes para identificar a cônica.
Passo 7
Calculando os novos coeficientes após a rotação, encontramos:
Onde
e
são positivos e diferentes, o que caracteriza uma elipse.
Resposta
A equação canônica da cônica é uma elipse, obtida após uma rotação de eixos que elimina o termo
. A forma final é
, onde
e
são coeficientes positivos determinados pela rotação.
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Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial E indicado:
tem grau menor ou igual a 4
é um subespaço vetorial de
Dados os pontos
,
e
. Calcule o volume do tetraedro
.
A matriz mudança de uma base B do
para a base
desse mesmo espaço é:
Determine a base B.
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.