Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação e precisa transformar ela na forma canônica de uma cônica, usando rotação ou translação de eixos, e depois identificar de qual cônica estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra envolvendo matrizes e transformações de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a equação tem um termo misto, o . Esse termo indica que o gráfico da equação está rotado em relação aos eixos coordenados. Nosso objetivo é eliminar esse termo para facilitar a identificação da cônica. Para fazer isso, vamos usar uma rotação de eixos.

Passo 3

A rotação de eixos envolve trocar as coordenadas por novas coordenadas de tal forma que o termo desapareça. A fórmula para eliminar o termo é encontrar o ângulo que satisfaz:
Onde na nossa equação, , , e . Vamos calcular .

Passo 4

Calculando :
Então,

Passo 5

Agora que temos o ângulo , podemos usar as fórmulas de rotação para transformar as coordenadas:
Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, eliminamos o termo .

Passo 6

Após a substituição e simplificação, chegamos a uma equação sem o termo . A equação canônica resultante terá a forma de uma elipse ou hipérbole, dependendo dos coeficientes. Vamos verificar os novos coeficientes para identificar a cônica.

Passo 7

Calculando os novos coeficientes após a rotação, encontramos:
Onde e são positivos e diferentes, o que caracteriza uma elipse.

Resposta

A equação canônica da cônica é uma elipse, obtida após uma rotação de eixos que elimina o termo . A forma final é , onde e são coeficientes positivos determinados pela rotação.

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