Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial E indicado:
tem grau menor ou igual a 4
é um subespaço vetorial de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que consiste em todos os polinômios
de grau menor ou igual a 4. O espaço vetorial
é
, que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço é o polinômio
. O grau de
é definido como
ou, em alguns casos, como indefinido, mas para fins práticos, consideramos que
está incluído em todos os conjuntos de polinômios de grau menor ou igual a qualquer número. Logo, o vetor zero está em
.
O vetor zero no espaço
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer e
em
. Isso significa que ambos têm grau menor ou igual a 4, ou seja,
e
. Quando somamos esses dois polinômios, o grau do polinômio resultante
é no máximo o máximo dos graus de
e
. Portanto,
, o que significa que
também está em
.
Vamos pegar dois polinômios quaisquer
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos considerar um polinômio em
e um escalar
real. O polinômio resultante da multiplicação
terá o mesmo grau que
, já que multiplicar por um escalar não altera o grau do polinômio (desde que
). Como
, então
, o que significa que
também está em
.
Agora, vamos considerar um polinômio
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar,
é um subespaço vetorial de
.