Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial E indicado: tem grau menor ou igual a 4 é um subespaço vetorial de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que consiste em todos os polinômios de grau menor ou igual a 4. O espaço vetorial é , que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. Nosso objetivo é verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição de vetores.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço é o polinômio . O grau de é definido como ou, em alguns casos, como indefinido, mas para fins práticos, consideramos que está incluído em todos os conjuntos de polinômios de grau menor ou igual a qualquer número. Logo, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer e em . Isso significa que ambos têm grau menor ou igual a 4, ou seja, e . Quando somamos esses dois polinômios, o grau do polinômio resultante é no máximo o máximo dos graus de e . Portanto, , o que significa que também está em .
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos considerar um polinômio em e um escalar real. O polinômio resultante da multiplicação terá o mesmo grau que , já que multiplicar por um escalar não altera o grau do polinômio (desde que ). Como , então , o que significa que também está em .
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, é um subespaço vetorial de .