'Vamos considerar o lançamento de dois dados, um verde e outro azul, e a soma dos números das faces voltadas para cima desses dados. Considere também os eventos: A = (a soma obtida é 7) B = (o número no dado verde é par) C = (os números dos dois dados são iguais)
a) Os eventos A e B são independentes? Justifique sua resposta por meio de cálculos matemáticos
b) Os eventos A e C são independentes? Justifique sua resposta por meio de cálculos matemáticos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o lançamento de dois dados (um verde e outro azul) e analisa eventos relacionados à soma dos números que aparecem nas faces para cima. A matéria envolvida aqui é Probabilidade, especificamente sobre eventos independentes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades de eventos e verificar se dois eventos são independentes ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o espaço amostral. Ao lançar dois dados, cada um com 6 faces, temos um total de 6 times 6 = 36 possíveis combinações de resultados. Cada combinação é igualmente provável.

Passo 3

Vamos definir os eventos mencionados:
  • Evento A: A soma dos números nos dois dados é 7.
  • Evento B: O número no dado verde é par.
  • Evento C: Os números nos dois dados são iguais.

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades de cada evento:
  • P(A): Quantas combinações dão soma 7?
    • As combinações são: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Total de 6 combinações.
    • Então, $ P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $.
  • P(B): Quantas combinações têm o número no dado verde par?
    • Números pares no dado verde: 2, 4, 6.
    • Para cada número par no verde, o azul pode ser 1 a 6. Total de P(A) = 636 = 16 combinações.
    • Então, $ P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $.
  • : Quantas combinações têm números iguais nos dois dados?
    • As combinações são: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Total de 6 combinações.
    • Então, $ P© = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os eventos A e B são independentes. Dois eventos são independentes se:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Primeiro, vamos encontrar $ P(A \cap B) $:
  • A ∩ B: Soma é 7 e o número no dado verde é par.
    • Das combinações que somam 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
    • Dentre elas, as que têm o verde par são: (2,5), (4,3), (6,1). Total de 3 combinações.
    • Então, $ P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} $.
Agora, calculando $ P(A) \times P(B) $:
P(A cap B)
Como $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $, os eventos A e B são independentes.

Passo 6

Agora, vamos verificar se os eventos A e C são independentes usando a mesma lógica:
P(A cap C) = P(A) times P(C)
Primeiro, encontramos $ P(A \cap C) $:
  • A ∩ C: Soma é 7 e os números nos dois dados são iguais.
    • As combinações com números iguais são: (1,1), (2,2), …, (6,6).
    • Nenhuma dessas combinações soma 7, já que P(A cap C) não tem solução inteira.
    • Então, $ P(A \cap C) = 0 $.
Agora, calculando $ P(A) \times P© $:
2 times x = 7
Como $ P(A \cap C) = 0 $ e $ P(A) \times P© = \frac{1}{36} $, os eventos A e C não são independentes.

Resposta

a) Sim, os eventos A e B são independentes porque $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $.
b) Não, os eventos A e C não são independentes porque $ P(A \cap C) \neq P(A) \times P© $.

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