Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar a projeção do vetor AB sobre o vetor CD. Isso está relacionado ao conteúdo de Vetores no Espaço e, mais especificamente, à projeção de vetores. Para resolver, vamos precisar calcular os vetores AB e CD, além de usar a fórmula da projeção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e CD. Esses vetores são obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos finais pelas iniciais.
Para AB:
AB = B - A = (3 - (-2), 2 - 3, 5 - 4) = (5, -1, 1)
Para CD:
CD = D - C = (3 - 1, 2 - (-1), -4 - 2) = (2, 3, -6)
Passo 3
Agora que temos os vetores AB = (5, -1, 1) e CD = (2, 3, -6), vamos usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro. A fórmula é:
ProjCD AB = ( AB cdot CDCD cdot CD ) CD
Aqui, “cdot” representa o produto escalar entre dois vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar AB cdot CD:
AB cdot CD = (5)(2) + (-1)(3) + (1)(-6) = 10 - 3 - 6 = 1
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar CD cdot CD:
CD cdot CD = (2)^2 + (3)^2 + (-6)^2 = 4 + 9 + 36 = 49
Passo 6
Com esses valores, podemos substituir na fórmula da projeção:
ProjCD AB = ( 149 ) CD = 149 times (2, 3, -6)
Passo 7
Multiplicando cada componente do vetor CD por 149, temos:
ProjCD AB = ( 249, 349, -649 )
Resposta
A projeção de AB sobre CD é ( dfrac249, dfrac349, dfrac-649 ).