Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais? © O conjunto
formado pelas funções
tais que
para todo
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de funções
dentro do espaço de todas as funções de
para
, denotado por
. Especificamente,
é formado por funções
que satisfazem a condição
para todo
. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar se o conjunto
não está vazio. O vetor zero no espaço de funções é a função que atribui zero a todo
, ou seja,
para todo
. Vamos verificar se essa função pertence a
:
Como a função zero satisfaz a condição
, ela pertence a
. Portanto,
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto
é fechado sob adição. Ou seja, se tivermos duas funções
e
em
, a função
também deve estar em
. Sabemos que:
Vamos considerar a função
. Então:
Assim,
para todo
, o que significa que
também pertence a
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, precisamos verificar se o conjunto
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer função
em
e qualquer escalar
, a função
também deve estar em
. Sabemos que:
Vamos considerar a função
. Então:
Portanto,
para todo
, o que significa que
também pertence a
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
não está vazio, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço vetorial de
.