Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais? © O conjunto formado pelas funções tais que para todo .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de funções dentro do espaço de todas as funções de para , denotado por . Especificamente, é formado por funções que satisfazem a condição para todo . Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se o conjunto não está vazio. O vetor zero no espaço de funções é a função que atribui zero a todo , ou seja, para todo . Vamos verificar se essa função pertence a :
Como a função zero satisfaz a condição , ela pertence a . Portanto, não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se tivermos duas funções e em , a função também deve estar em . Sabemos que:
Vamos considerar a função . Então:
Assim, para todo , o que significa que também pertence a . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, precisamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer função em e qualquer escalar , a função também deve estar em . Sabemos que:
Vamos considerar a função . Então:
Portanto, para todo , o que significa que também pertence a . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não está vazio, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

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