Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais? © O conjunto F subset F(R, R) formado pelas funções f tais que f(x+1)=f(x) para todo x in R.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de funções F dentro do espaço de todas as funções de R para R, denotado por F(R, R). Especificamente, F é formado por funções f que satisfazem a condição f(x+1) = f(x) para todo x in R. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto F é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se o conjunto F não está vazio. O vetor zero no espaço de funções é a função que atribui zero a todo x, ou seja, f(x) = 0 para todo x in R. Vamos verificar se essa função pertence a F:
f(x+1) = 0 = f(x) para todo x in R
Como a função zero satisfaz a condição f(x+1) = f(x), ela pertence a F. Portanto, F não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto F é fechado sob adição. Ou seja, se tivermos duas funções f e g em F, a função f + g também deve estar em F. Sabemos que:
f(x+1) = f(x) e g(x+1) = g(x) para todo x in R
Vamos considerar a função h = f + g. Então:
h(x+1) = f(x+1) + g(x+1) = f(x) + g(x) = h(x)
Assim, h(x+1) = h(x) para todo x, o que significa que f + g também pertence a F. Portanto, F é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, precisamos verificar se o conjunto F é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer função f em F e qualquer escalar c in R, a função c cdot f também deve estar em F. Sabemos que:
f(x+1) = f(x) para todo x in R
Vamos considerar a função k = c cdot f. Então:
k(x+1) = c cdot f(x+1) = c cdot f(x) = k(x)
Portanto, k(x+1) = k(x) para todo x, o que significa que c cdot f também pertence a F. Assim, F é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto F não está vazio, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, podemos concluir que F é um subespaço vetorial de F(R, R).

Exercícios relacionados