(Uece 2010) O conjugado,
, do número complexo
, com
e y números reais, é definido por
. Identificando o número complexo
iy com o ponto ( x , y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que a conjunto dos números complexos z que satisfazem a relaçåo
eståo sobre :
b) uma circunferéncia.
b) uma circunferéncia.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos um número complexo
, onde
e
são números reais, e seu conjugado
. A questão nos pede para identificar o conjunto de todos os números complexos
que satisfazem a relação
no plano cartesiano. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e geometria analítica.
Passo 2
Vamos começar expandindo a expressão dada:
Sabemos que o produto de um número complexo pelo seu conjugado é:
Substituindo isso na equação original:
Como
e
, somando-os temos:
Portanto, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para identificar a forma geométrica que ela representa:
Para facilitar a identificação, vamos completar o quadrado em relação a
. Isso ajuda a transformar a equação no formato padrão da circunferência.
Adicionamos e subtraímos 1:
Que simplifica para:
Passo 4
A equação
é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano. Nessa forma, podemos identificar facilmente o centro e o raio da circunferência:
- Centro:
- Raio:
Resposta
Os números complexos
que satisfazem a equação
estão sobre uma circunferência.
Exercícios relacionados
Dados
e
, determine:
Justifique se as expressões abaixo fazem sentido e, em caso afirmativo, diga se elas representam um número ou um vetor:
Determine o valor de
para o qual os vetores
e
sejam perpendiculares.
Dados os pontos
e
. Determine
.