(Uece 2010) O conjugado, , do número complexo , com e y números reais, é definido por . Identificando o número complexo iy com o ponto ( x , y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que a conjunto dos números complexos z que satisfazem a relaçåo eståo sobre :
b) uma circunferéncia.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos um número complexo , onde e são números reais, e seu conjugado . A questão nos pede para identificar o conjunto de todos os números complexos que satisfazem a relação no plano cartesiano. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e geometria analítica.

Passo 2

Vamos começar expandindo a expressão dada:
Sabemos que o produto de um número complexo pelo seu conjugado é:
Substituindo isso na equação original:
Como e , somando-os temos:
Portanto, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para identificar a forma geométrica que ela representa:
Para facilitar a identificação, vamos completar o quadrado em relação a . Isso ajuda a transformar a equação no formato padrão da circunferência.
Adicionamos e subtraímos 1:
Que simplifica para:

Passo 4

A equação é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano. Nessa forma, podemos identificar facilmente o centro e o raio da circunferência:
  • Centro:
  • Raio:

Resposta

Os números complexos que satisfazem a equação estão sobre uma circunferência.

Exercícios relacionados

Dados e , determine:
Justifique se as expressões abaixo fazem sentido e, em caso afirmativo, diga se elas representam um número ou um vetor:
Determine o valor de para o qual os vetores e sejam perpendiculares.
Dados os pontos e . Determine .