(Uece 2010) O conjugado, barz, do número complexo z =x+i y, com x e y números reais, é definido por barz=x-i y. Identificando o número complexo z=x+ iy com o ponto ( x , y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que a conjunto dos números complexos z que satisfazem a relaçåo z barz+z+barz=0 eståo sobre :
b) uma circunferéncia.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos um número complexo z = x + i y, onde x e y são números reais, e seu conjugado barz = x - i y. A questão nos pede para identificar o conjunto de todos os números complexos z que satisfazem a relação z barz + z + barz = 0 no plano cartesiano. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e geometria analítica.

Passo 2

Vamos começar expandindo a expressão dada:
z barz + z + barz = 0
Sabemos que o produto de um número complexo pelo seu conjugado é:
z barz = (x + i y)(x - i y) = x^2 + y^2
Substituindo isso na equação original:
x^2 + y^2 + z + barz = 0
Como z = x + i y e barz = x - i y, somando-os temos:
z + barz = (x + i y) + (x - i y) = 2x
Portanto, a equação fica:
x^2 + y^2 + 2x = 0

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para identificar a forma geométrica que ela representa:
x^2 + 2x + y^2 = 0
Para facilitar a identificação, vamos completar o quadrado em relação a x. Isso ajuda a transformar a equação no formato padrão da circunferência.
Adicionamos e subtraímos 1:
x^2 + 2x + 1 - 1 + y^2 = 0
Que simplifica para:
(x + 1)^2 + y^2 = 1

Passo 4

A equação (x + 1)^2 + y^2 = 1 é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano. Nessa forma, podemos identificar facilmente o centro e o raio da circunferência:
  • Centro: (-1, 0)
  • Raio: 1

Resposta

Os números complexos z que satisfazem a equação z barz + z + barz = 0 estão sobre uma circunferência.

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