Dados os pontos , encontre o volume do tetraedro definido por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . O objetivo é encontrar o volume do tetraedro formado por esses quatro pontos. Para isso, vamos usar geometria espacial e álgebra vetorial, mais especificamente a fórmula do determinante para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o volume de um tetraedro formado por quatro pontos , , e pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui, , e são vetores que vão do ponto para os pontos , e , respectivamente.
Passo 3
Vamos encontrar os vetores AB = B - A = (2-3, 2-0, 2-1) = (-1, 2, 1) , AC = C - A = (1-3, 1-0, 0-1) = (-2, 1, -1) e AD = D - A = (0-3, 0-0, 3-1) = (-3, 0, 2) :
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante:
-1 & -2 & -3 2 & 1 & 0 1 & -1 & 2
O determinante dessa matriz é calculado da seguinte forma: