Dados os pontos A(3,0,1), B(2,2,2), C(1,1,0), D(0,0,3) in R^3, encontre o volume do tetraedro definido por A, B, C e D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . O objetivo é encontrar o volume do tetraedro formado por esses quatro pontos. Para isso, vamos usar geometria espacial e álgebra vetorial, mais especificamente a fórmula do determinante para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o volume V = 16 | det(AB, AC, AD) | de um tetraedro formado por quatro pontos , , e pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui, , e são vetores que vão do ponto para os pontos , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores AB = B - A = (2-3, 2-0, 2-1) = (-1, 2, 1) , AC = C - A = (1-3, 1-0, 0-1) = (-2, 1, -1) e AD = D - A = (0-3, 0-0, 3-1) = (-3, 0, 2) :

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante:
-1 & -2 & -3 2 & 1 & 0 1 & -1 & 2
O determinante dessa matriz é calculado da seguinte forma:
det = -1 cdot (1 cdot 2 - 0 cdot (-1)) - (-2) cdot (2 cdot 2 - 0 cdot 1) + (-3) cdot (2 cdot (-1) - 1 cdot 1)
det = -1 cdot (2 - 0) - (-2) cdot (4 - 0) + (-3) cdot (-2 -1)
det = -2 + 8 + 9 = 15

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula do volume:
V = 16 | 15 | = 156 = 2,5

Resposta

O volume do tetraedro definido pelos pontos , , e é 2,5 unidades cúbicas.

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