Responda SIM ou NÃO às perguntas abaixo, com as justificativas adequadas, conforme as opções apresentadas:
(3-b) Pode haver uma transformação linear não-injetora e não-sobrejetora
?
Opções:
(A)
, pois podemos ter
e
e
(B) Não, pois teríamos
e
e
© Sim, pois podemos ter
e
(D) Não, pois teríamos
(E) Sim, pois podemos ter
e
e
(F) Não, pois teríamos
e
e
(G)
, pois podemos ter
e
e
(H) Não, pois teríamos
(I) Nenhuma das demais opções.
(3-b) Pode haver uma transformação linear não-injetora e não-sobrejetora
(B) Não, pois teríamos
© Sim, pois podemos ter
(D) Não, pois teríamos
(E) Sim, pois podemos ter
(F) Não, pois teríamos
(G)
(H) Não, pois teríamos
(I) Nenhuma das demais opções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
que não seja injetora e não seja sobrejetora ao mesmo tempo. Isso envolve os conceitos de injeção (quando cada elemento do domínio vai para um único elemento no contradomínio) e sobrejeção (quando todo elemento do contradomínio é atingido pela transformação). Para resolver, vamos lembrar do Teorema do Núcleo e Imagem que relaciona as dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular que
é um espaço vetorial de dimensão 4, e
é o espaço de polinômios de grau até 3, também de dimensão 4 (pois temos as bases
).
O Teorema do Núcleo e Imagem diz que:
Isso nos ajuda a entender as possibilidades de dimensões para o núcleo e a imagem da transformação linear
.
Como queremos que
não seja injetora (ou seja,
) e não seja sobrejetora (ou seja,
), precisamos verificar quais opções satisfazem essas condições.
Passo 3
Vamos analisar cada opção:
(A)
, pois podemos ter
e
e
- NÃO. Aqui,
indica que é injetora, o que contraria a condição de não injetividade.
(B) Não, pois teríamos
e
e
- NÃO. Além de
que iguala as dimensões, isso implicaria que é injetora e sobrejetora, o oposto do que queremos.
©
, pois podemos ter
e
com
- SIM. Aqui, tanto a não injetividade quanto a não sobrejetividade estão satisfeitas.
(D) Não, pois teríamos
- NÃO. Segundo o teorema, a soma das dimensões deve ser exatamente 4, não maior.
(E)
, pois podemos ter
e
e
- SIM. Ambos
e são menores que 4 e sua soma é 4, atendendo às condições.
(F) Não, pois teríamos
e
e
- NÃO. Além de
implicar em injetividade, a soma das dimensões não bate com 4.
(G)
, pois podemos ter
e
e
- SIM. Novamente, tanto o núcleo quanto a imagem têm dimensões que deixam
não injetora e não sobrejetora.
(H) Não, pois teríamos
- NÃO. A soma das dimensões não pode exceder 4.
(I) Nenhuma das demais opções.
- NÃO. Já identificamos opções corretas nas alternativas anteriores.
Resposta
As afirmações C, E e G são SIM, pois satisfazem as condições de
não ser injetora e nem sobrejetora. As demais opções são NÃO.