Responda SIM ou NÃO às perguntas abaixo, com as justificativas adequadas, conforme as opções apresentadas:
(3-b) Pode haver uma transformação linear não-injetora e não-sobrejetora S: R^4 P3(R) ?

Opções:

(A) Sim, pois podemos ter dim ker S=0 e dim Im S=3 e 0+3=3=P3(R)
(B) Não, pois teríamos dim ker S=0 e dim Im S=4 e 0+4=4 neq dim P3(R)
© Sim, pois podemos ter dim ker S>0 e dim Im S<4 com dim ker S+dim Im S=dim R^4
(D) Não, pois teríamos dim ker S+dim Im S>4 neq dim P3(R)
(E) Sim, pois podemos ter dim ker S=2 e dim Im S=2 e 2+2=4=dim P3(R)
(F) Não, pois teríamos dim ker S=0 e dim Im S=3 e 0+3=3 neq dim R^4
(G) Sim, pois podemos ter dim ker S=1 e dim Im S=3 e 1+3=4=dim P3(R)
(H) Não, pois teríamos dim ker S+dim Im S>4=dim R^4
(I) Nenhuma das demais opções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se existe uma transformação linear que não seja injetora e não seja sobrejetora ao mesmo tempo. Isso envolve os conceitos de injeção (quando cada elemento do domínio vai para um único elemento no contradomínio) e sobrejeção (quando todo elemento do contradomínio é atingido pela transformação). Para resolver, vamos lembrar do Teorema do Núcleo e Imagem que relaciona as dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular que dim(ker S) + dim(Im S) = dim R^4 = 4 é um espaço vetorial de dimensão 4, e é o espaço de polinômios de grau até 3, também de dimensão 4 (pois temos as bases ).
O Teorema do Núcleo e Imagem diz que:
Isso nos ajuda a entender as possibilidades de dimensões para o núcleo e a imagem da transformação linear .
Como queremos que não seja injetora (ou seja, ) e não seja sobrejetora (ou seja, ), precisamos verificar quais opções satisfazem essas condições.

Passo 3

Vamos analisar cada opção:
(A) , pois podemos ter e e
  • NÃO. Aqui, indica que é injetora, o que contraria a condição de não injetividade.
(B) Não, pois teríamos e e
  • NÃO. Além de que iguala as dimensões, isso implicaria que é injetora e sobrejetora, o oposto do que queremos.
© , pois podemos ter e com
  • SIM. Aqui, tanto a não injetividade quanto a não sobrejetividade estão satisfeitas.
(D) Não, pois teríamos
  • NÃO. Segundo o teorema, a soma das dimensões deve ser exatamente 4, não maior.
(E) , pois podemos ter e e
  • SIM. Ambos e são menores que 4 e sua soma é 4, atendendo às condições.
(F) Não, pois teríamos e e
  • NÃO. Além de implicar em injetividade, a soma das dimensões não bate com 4.
(G) , pois podemos ter e e
  • SIM. Novamente, tanto o núcleo quanto a imagem têm dimensões que deixam não injetora e não sobrejetora.
(H) Não, pois teríamos
  • NÃO. A soma das dimensões não pode exceder 4.
(I) Nenhuma das demais opções.
  • NÃO. Já identificamos opções corretas nas alternativas anteriores.

Resposta

As afirmações C, E e G são SIM, pois satisfazem as condições de não ser injetora e nem sobrejetora. As demais opções são NÃO.

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