Dados os pontos A(-4,3) e B(2,1), encontrar o ponto P nos casos:
a) P pertence ao eixo O y e é equidistante de A e B;
b) P é equidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abscissa;
c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos A(-4,3) e B(2,1) no plano cartesiano. Precisamos encontrar o ponto P em três situações diferentes, utilizando conceitos de geometria analítica como distância entre pontos e mediatriz. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos e propriedades da mediatriz.

Passo 2

a) P pertence ao eixo O y e é equidistante de A e B
Se P está no eixo Oy, suas coordenadas são (0,y). Ser equidistante de A e B significa que a distância de P a A é igual à distância de P a B.
Aplicamos a fórmula da distância:
raiz(0 - (-4))^2 + (y - 3)^2 = raiz(0 - 2)^2 + (y -1)^2
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
16 + (y - 3)^2 = 4 + (y -1)^2
Expandindo:
16 + y^2 -6y +9 = 4 + y^2 -2y +1
Simplificando:
25 -6y = 5 -2y
Resolvendo para y:
-6y +2y = 5 -25
-4y = -20
y = 5

Passo 3

b) P é equidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abscissa
As coordenadas de P são (x, 2x). A condição de ser equidistante de A e B implica que a distância de P a A é igual à distância de P a B.
Calculamos:
raiz(x +4)^2 + (2x -3)^2 = raiz(x -2)^2 + (2x -1)^2
Elevando ao quadrado:
(x +4)^2 + (2x -3)^2 = (x -2)^2 + (2x -1)^2
Expandindo:
x^2 +8x +16 +4x^2 -12x +9 = x^2 -4x +4 +4x^2 -4x +1
Simplificando:
5x^2 -4x +25 = 5x^2 -8x +5
Subtraindo 5x^2 dos dois lados:
-4x +25 = -8x +5
Resolvendo para x:
4x = -20
x = -5
Logo, P(-5, -10)

Passo 4

c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B
A mediatriz é o conjunto de pontos equidistantes de A e B. Então, é o caso a) mas para qualquer ponto na mediatriz.
Para determinar a equação da mediatriz, primeiro encontramos o ponto médio M de AB:
M(-4+22, 3+12) = (-1, 2)
Agora, a inclinação de AB:
mAB = 1 - 32 - (-4) = -26 = -13
A inclinação da mediatriz é o negativo do inverso, ou seja, m = 3.
Então, a equação da mediatriz passa por M(-1,2) e tem inclinação 3:
y -2 = 3(x +1)
Simplificando:
y = 3x +5
Portanto, qualquer ponto P(x, y) que satisfaça y = 3x +5 pertence à mediatriz de AB.

Resposta

a) P(0,5)
b) P(-5,-10)
c) A mediatriz é a reta y = 3x +5

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