Dados os pontos
e
, encontrar o ponto
nos casos:
a)
pertence ao eixo
e é equidistante de
e
;
b)
é equidistante de
e
e sua ordenada é o dobro da abscissa;
c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos
e
.
a)
b)
c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos
e
no plano cartesiano. Precisamos encontrar o ponto
em três situações diferentes, utilizando conceitos de geometria analítica como distância entre pontos e mediatriz. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos e propriedades da mediatriz.
Passo 2
a)
pertence ao eixo
e é equidistante de
e
Se
está no eixo
, suas coordenadas são
. Ser equidistante de
e
significa que a distância de
a
é igual à distância de
a
.
Aplicamos a fórmula da distância:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Expandindo:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Passo 3
b)
é equidistante de
e
e sua ordenada é o dobro da abscissa
As coordenadas de
são
. A condição de ser equidistante de
e
implica que a distância de
a
é igual à distância de
a
.
Calculamos:
Elevando ao quadrado:
Expandindo:
Simplificando:
Subtraindo
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Logo,
Passo 4
c)
pertence à mediatriz do segmento de extremos
e
A mediatriz é o conjunto de pontos equidistantes de
e
. Então, é o caso a) mas para qualquer ponto na mediatriz.
Para determinar a equação da mediatriz, primeiro encontramos o ponto médio
de
:
Agora, a inclinação de
:
A inclinação da mediatriz é o negativo do inverso, ou seja,
.
Então, a equação da mediatriz passa por
e tem inclinação
:
Simplificando:
Portanto, qualquer ponto
que satisfaça
pertence à mediatriz de
.
Resposta
a)
b)
c) A mediatriz é a reta