Dados os pontos A(-1,2,1), B(2,-1,4), C(-1,-3,3), D(1,0,0) pede-se: b) a distância entre a reta que contém A e B e a reta que contém C e D ;

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria no espaço tridimensional! Temos duas retas: uma que passa pelos pontos A(-1,2,1) e B(2,-1,4), e outra que passa pelos pontos C(-1,-3,3) e D(1,0,0). Nosso objetivo é encontrar a distância entre essas duas retas. Para isso, vamos usar vetores e algumas fórmulas de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta é simplesmente a diferença entre as coordenadas dos dois pontos que a definem.
Para a reta AB:
vAB = B - A = (2 - (-1), -1 - 2, 4 - 1) = (3, -3, 3)
Para a reta CD:
vCD = D - C = (1 - (-1), 0 - (-3), 0 - 3) = (2, 3, -3)

Passo 3

Agora, precisamos verificar se as retas são paralelas ou estão inclinadas (skew). Para isso, calculamos o produto vetorial dos vetores diretores. Se o produto vetorial for diferente de zero, as retas são inclinadas.
vAB times vCD = i & j & k 3 & -3 & 3 2 & 3 & -3 = i((-3)(-3) - (3)(3)) - j((3)(-3) - (3)(2)) + k((3)(3) - (-3)(2))
= i(9 - 9) - j(-9 - 6) + k(9 + 6) = i(0) - j(-15) + k(15) = (0, 15, 15)
Como o produto vetorial não é zero, as retas são inclinadas e podemos calcular a distância entre elas.

Passo 4

A fórmula para a distância d = |(C - A) cdot (vAB times vCD)||vAB times vCD| entre duas retas inclinadas é:
AC = C - A = (-1 - (-1), -3 - 2, 3 - 1) = (0, -5, 2)
Primeiro, calculamos o vetor entre os pontos A e C:
AC cdot (vAB times vCD) = (0)(0) + (-5)(15) + (2)(15) = 0 - 75 + 30 = -45
Agora, calculamos o produto escalar entre |vAB times vCD| = raiz0^2 + 15^2 + 15^2 = raiz0 + 225 + 225 = raiz450 = 15raiz2 e d = 4515raiz2 = 3raiz2 = 3raiz22 :
O valor absoluto é .
Calculamos a magnitude do produto vetorial:
Finalmente, a distância é:

Resposta

A distância entre a reta que contém A e B e a reta que contém C e D é dfrac3raiz22 unidades.

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