Dados os pontos pede-se: a) a equação geral do plano que contém o triângulo de vértices e C ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação geral do plano que contém o triângulo formado pelos pontos A(-1, 2, 1), B(2, -1, 4) e C(-1, -3, 3). Isso envolve conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar vetores e a fórmula da equação do plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso calculando os vetores AB e AC, que são formados pelos pontos A para B e A para C, respectivamente.
Vamos calcular:
Passo 3
Agora que temos dois vetores no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O vetor normal é perpendicular a ambos os vetores do plano.
Vamos calcular o produto vetorial :
n = i(-6 + 15) - j(6 - 0) + k(-15 - 0)
n = 9i - 6j -15k
Então, o vetor normal é .
Passo 4
Com o vetor normal em mãos, podemos usar a equação geral do plano, que é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
Onde 9x - 6y -15z + D = 0 são as componentes do vetor normal. Substituindo:
9(-1) - 6(2) -15(1) + D = 0
Para encontrar o valor de -9 -12 -15 + D = 0 , usamos as coordenadas de um dos pontos que estão no plano. Vamos usar o ponto A(-1, 2, 1):