Dados os pontos A(-1,2,1), B(2,-1,4), C(-1,-3,3), D(1,0,0) pede-se: a) a equação geral do plano que contém o triângulo de vértices A, B e C ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação geral do plano que contém o triângulo formado pelos pontos A(-1, 2, 1), B(2, -1, 4) e C(-1, -3, 3). Isso envolve conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar vetores e a fórmula da equação do plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso calculando os vetores AB e AC, que são formados pelos pontos A para B e A para C, respectivamente.
Vamos calcular:
AB = B - A = (2 - (-1), -1 - 2, 4 - 1) = (3, -3, 3)
AC = C - A = (-1 - (-1), -3 - 2, 3 - 1) = (0, -5, 2)

Passo 3

Agora que temos dois vetores no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O vetor normal é perpendicular a ambos os vetores do plano.
Vamos calcular o produto vetorial n = AB times AC = i & j & k 3 & -3 & 3 0 & -5 & 2 :
n = i((-3)(2) - (3)(-5)) - j((3)(2) - (3)(0)) + k((3)(-5) - (-3)(0))
n = i(-6 + 15) - j(6 - 0) + k(-15 - 0)
n = 9i - 6j -15k
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal em mãos, podemos usar a equação geral do plano, que é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
Onde 9x - 6y -15z + D = 0 são as componentes do vetor normal. Substituindo:
9(-1) - 6(2) -15(1) + D = 0
Para encontrar o valor de -9 -12 -15 + D = 0 , usamos as coordenadas de um dos pontos que estão no plano. Vamos usar o ponto A(-1, 2, 1):
-36 + D = 0 Rightarrow D = 36

Resposta

A equação geral do plano é:
9x - 6y -15z + 36 = 0

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