Dados os pontos B=(2,3) e C=(-4,1), determinar o vértice A do triângulo A B C, sabendo que é o ponto do eixo y do qual se vê B C sob ângulo reto.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois pontos, e , formando o segmento . Queremos encontrar o vértice do triângulo que está no eixo e de onde o segmento é visto sob um ângulo reto (90 graus). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o de vetores e produtos escalares.

Passo 2

Como o ponto está no eixo , suas coordenadas serão , onde é o valor que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos definir os vetores BA = A - B = (0 - 2, y - 3) = (-2, y - 3) e CA = A - C = (0 - (-4), y - 1) = (4, y - 1) . Esses vetores vão do ponto e até o ponto , respectivamente.

Passo 4

Para que o ângulo entre BA cdot CA = x1x2 + y1y2 e (-2) cdot 4 + (y - 3)(y - 1) = 0 seja reto, o produto escalar desses vetores deve ser zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Portanto:

Passo 5

Vamos resolver a equação:
-8 + (y - 3)(y - 1) = 0
Primeiro, expandimos o produto:
(y - 3)(y - 1) = y^2 - y - 3y + 3 = y^2 - 4y + 3
Substituindo de volta na equação:
-8 + y^2 - 4y + 3 = 0
y^2 - 4y - 5 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática y = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-5)2 cdot 1 = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
y = 4 pm 62
y = 4 + 62 = 5 e y = 4 - 62 = -1
Isso dá duas soluções:

Resposta

Os vértices são e .

Exercícios relacionados

Prove que o triângulo cujos vértices são (2,2),(-4,-6) e(4,-12) é retângulo.
Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo A B C D, para:
(1) A=(-3,-1), B=(4,2) e C=(5,5)
(2) A=(5,1), B=(7,3) e C=(3,4)
Determinar y para que os pontos (3,5),(-3,8) e (4, y) sejam colineares.
Classifique os triângulos abaixo (eqüilátero, isósceles ou escaleno):
(1) A=(1,1), B=(3,2) e C=(0,3)
(2) D=(-1,1), E=(3,1) e F=(1,2 raiz3+1)
(3) G=(3,2 raiz3), H=(3,0) e I=(0,-raiz3)