Dados os pontos e , determinar o vértice do triângulo , sabendo que é o ponto do eixo y do qual se vê sob ângulo reto.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois pontos, e , formando o segmento . Queremos encontrar o vértice do triângulo que está no eixo e de onde o segmento é visto sob um ângulo reto (90 graus). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o de vetores e produtos escalares.
Passo 2
Como o ponto está no eixo , suas coordenadas serão , onde é o valor que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos definir os vetores BA = A - B = (0 - 2, y - 3) = (-2, y - 3) e CA = A - C = (0 - (-4), y - 1) = (4, y - 1) . Esses vetores vão do ponto e até o ponto , respectivamente.
Passo 4
Para que o ângulo entre BA cdot CA = x1x2 + y1y2 e (-2) cdot 4 + (y - 3)(y - 1) = 0 seja reto, o produto escalar desses vetores deve ser zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Portanto:
Passo 5
Vamos resolver a equação:
-8 + (y - 3)(y - 1) = 0
Primeiro, expandimos o produto:
(y - 3)(y - 1) = y^2 - y - 3y + 3 = y^2 - 4y + 3
Substituindo de volta na equação:
-8 + y^2 - 4y + 3 = 0
y^2 - 4y - 5 = 0
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática y = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-5)2 cdot 1 = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 . Podemos usar a fórmula de Bhaskara: