Prove que o triângulo cujos vértices são (2,2),(-4,-6) e(4,-12) é retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o triângulo com vértices em (2,2), (-4,-6) e (4,-12) é retângulo. Para isso, vamos usar geometria analítica, especificamente a fórmula da distância para calcular os lados do triângulo e verificar se satisfazem o teorema de Pitágoras, que é a base para identificar triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos nomear os pontos para facilitar: seja A(2,2), B(-4,-6) e C(4,-12). Vamos calcular as distâncias entre esses pontos para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo.

Passo 3

A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos aplicar isso para calcular AB, AC e BC.

Passo 4

Calculando AB:
AB = raiz(-4 - 2)^2 + (-6 - 2)^2 = raiz(-6)^2 + (-8)^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10

Passo 5

Calculando AC:
AC = raiz(4 - 2)^2 + (-12 - 2)^2 = raiz(2)^2 + (-14)^2 = raiz4 + 196 = raiz200 = 10raiz2

Passo 6

Calculando BC:
BC = raiz(4 - (-4))^2 + (-12 - (-6))^2 = raiz(8)^2 + (-6)^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10

Passo 7

Agora temos os comprimentos dos lados:
  • AB = 10
  • AC = 10raiz2
  • BC = 10
Vamos verificar se algum par de lados satisfaz o teorema de Pitágoras:
a^2 + b^2 = c^2
Onde c é a hipotenusa.

Passo 8

Testando com AB e BC:
AB^2 + BC^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200
E comparando com AC^2:
AC^2 = (10raiz2)^2 = 100 times 2 = 200
Como AB^2 + BC^2 = AC^2, o triângulo satisfaz o teorema de Pitágoras.

Resposta

Portanto, o triângulo com vértices em (2,2), (-4,-6) e (4,-12) é retângulo.

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