Prove que o triângulo cujos vértices são é retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o triângulo com vértices em , e é retângulo. Para isso, vamos usar geometria analítica, especificamente a fórmula da distância para calcular os lados do triângulo e verificar se satisfazem o teorema de Pitágoras, que é a base para identificar triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos nomear os pontos para facilitar: seja , e . Vamos calcular as distâncias entre esses pontos para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo.
Passo 3
A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Vamos aplicar isso para calcular , e .
Passo 4
Calculando :
Passo 5
Calculando :
Passo 6
Calculando :
Passo 7
Agora temos os comprimentos dos lados:
Vamos verificar se algum par de lados satisfaz o teorema de Pitágoras:
Onde é a hipotenusa.
Passo 8
Testando com e :
E comparando com :
Como , o triângulo satisfaz o teorema de Pitágoras.
Resposta
Portanto, o triângulo com vértices em , e é retângulo.