Suponha que seja uma série absolutamente convergente. Mostre que é uma série convergente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita que é absolutamente convergente. Isso significa que a soma dos valores absolutos dos termos, , também converge. Nosso objetivo é mostrar que a série formada pelos quadrados desses termos, , também é convergente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries convergentes e testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Se converge, então também converge. Isso acontece porque, se os valores absolutos somam algo finito, os próprios termos também somam algo finito, mesmo sem os valores absolutos.

Passo 3

Agora, como queremos analisar a série , vamos comparar os termos dessa série com os da série . Sabemos que para qualquer número real, , onde é um número que limita .

Passo 4

Como a série é convergente, existe um número tal que para todo , . Isso significa que para todo .

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste de Comparação. Sabemos que converge e que para todo . Portanto, pela comparação, a série também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Use o método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan para determinar as soluções (caso existam) dos seguintes sistemas lineares
(d)
Use o método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan para determinar as soluções (caso existam) dos seguintes sistemas lineares
Use o método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan para determinar as soluções (caso existam) dos seguintes sistemas lineares


(a)
Dados os pontos e , determine: A área do triângulo de vértices e ;