Suponha que
seja uma série absolutamente convergente. Mostre que
é uma série convergente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita
que é absolutamente convergente. Isso significa que a soma dos valores absolutos dos termos,
, também converge. Nosso objetivo é mostrar que a série formada pelos quadrados desses termos,
, também é convergente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries convergentes e testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Se
converge, então
também converge. Isso acontece porque, se os valores absolutos somam algo finito, os próprios termos também somam algo finito, mesmo sem os valores absolutos.
Passo 3
Agora, como queremos analisar a série
, vamos comparar os termos dessa série com os da série
. Sabemos que para qualquer número real,
, onde
é um número que limita
.
Passo 4
Como a série
é convergente, existe um número
tal que para todo
,
. Isso significa que
para todo
.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste de Comparação. Sabemos que
converge e que
para todo
. Portanto, pela comparação, a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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e
, determine: A área do triângulo de vértices
e
;