Suponha que sumn=1^+infty an seja uma série absolutamente convergente. Mostre que sumn=1^+infty an^2 é uma série convergente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita sumn=1^+infty an que é absolutamente convergente. Isso significa que a soma dos valores absolutos dos termos, sumn=1^+infty |an|, também converge. Nosso objetivo é mostrar que a série formada pelos quadrados desses termos, sumn=1^+infty an^2, também é convergente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries convergentes e testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Se sumn=1^+infty |an| converge, então sumn=1^+infty an também converge. Isso acontece porque, se os valores absolutos somam algo finito, os próprios termos também somam algo finito, mesmo sem os valores absolutos.

Passo 3

Agora, como queremos analisar a série sumn=1^+infty an^2, vamos comparar os termos dessa série com os da série sumn=1^+infty |an|. Sabemos que para qualquer número real, an^2 <= |an| cdot M, onde M é um número que limita |an|.

Passo 4

Como a série sumn=1^+infty |an| é convergente, existe um número M tal que para todo n, |an| <= M. Isso significa que an^2 <= M cdot |an| para todo n.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste de Comparação. Sabemos que sumn=1^+infty |an| converge e que 0 <= an^2 <= M cdot |an| para todo n. Portanto, pela comparação, a série sumn=1^+infty an^2 também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty an^2 é convergente.

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