Dados os pontos e , determine: A equação de uma reta perpendicular à reta que passe por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . O que a questão pede é para encontrar a equação de uma reta que seja perpendicular à reta que passa pelos pontos e , e que passe pelo ponto .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no Espaço.
O que vamos precisar: Entender como encontrar o vetor diretor de uma reta, condições de perpendicularidade entre duas retas no espaço, e a forma da equação de uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta . A reta passa pelos pontos e , então o vetor diretor da reta é dado pela diferença das coordenadas de e :
Passo 3
Agora, queremos uma reta que seja perpendicular à reta e que passe por . Para que duas retas sejam perpendiculares, o vetor diretor da nova reta precisa ser perpendicular ao vetor diretor da reta . Isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero:
Passo 4
Vamos chamar o vetor diretor da nova reta de . Então, a condição de perpendicularidade fica:
Ou seja:
Essa é uma equação que relaciona os componentes de . Precisamos encontrar valores de , e que satisfaçam essa equação.
Passo 5
Para encontrar uma direção específica, podemos atribuir valores a dois dos componentes e resolver para o terceiro. Por exemplo, vamos escolher e . Substituindo na equação:
Então, o vetor diretor pode ser .
Passo 6
Agora que temos o vetor diretor e sabemos que a reta deve passar pelo ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta:
Onde é o parâmetro.
Resposta
A equação da reta perpendicular à reta x = 2t y = 2 + t z = -2 - 2t que passa pelo ponto é: