Encontre a distancia entre as retas r1 e r2 nos casos: r1: x=2-t, y=3+t, z=1-2 t e r2: x=y+1-3=z2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a distância entre duas retas no espaço. O conteúdo que vamos usar aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional e como calcular a distância entre elas. Para isso, precisamos identificar os vetores diretores das retas e usar uma fórmula que nos ajude a calcular essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2t e x = s y = -3s - 1 z = 2s :
Para facilitar, vamos reescrever a equação de em forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de :
Então, agora temos:

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes que acompanham os parâmetros.
  • Para , o vetor diretor é .
  • Para , o vetor diretor é .

Passo 4

A fórmula para calcular a distância D = | (b - a) cdot (u times v) | | u times v | entre duas retas e é:
Onde:
  • é um ponto em .
  • é um ponto em .
  • e são os vetores diretores das retas.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 5

Vamos escolher pontos nas retas para e . Por exemplo, quando em :
  • Ponto .
E quando em :
  • Ponto .

Passo 6

Agora, calculamos o vetor b - a = lang<= 0 - 2, -1 - 3, 0 - 1 rang<= = lang<= -2, -4, -1 rang<= :

Passo 7

Em seguida, calculamos o produto vetorial u times v = i & j & k -1 & 1 & -2 1 & -3 & 2 = i(1 cdot 2 - (-2) cdot (-3)) - j(-1 cdot 2 - (-2) cdot 1) + k(-1 cdot (-3) - 1 cdot 1) :
= i(2 - 6) - j(-2 - (-2)) + k(3 -1)
= lang<= -4, 0, 2 rang<=

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar lang<= -2, -4, -1 rang<= cdot lang<= -4, 0, 2 rang<= = (-2)(-4) + (-4)(0) + (-1)(2) = 8 + 0 - 2 = 6 :

Passo 9

Calculamos o módulo do produto vetorial | u times v | = raiz(-4)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz16 + 0 + 4 = raiz20 = 2raiz5 :

Passo 10

Agora, aplicamos os valores na fórmula da distância:
D = |6| 2raiz5 = 62raiz5 = 3raiz5 = 3raiz55

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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