Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações lineares homogêneas, ou seja, todas as equações igualam a zero. O sistema é:
Vamos usar álgebra linear para encontrar todas as soluções possíveis para
,
e
.
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, usando operações de linha, para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando o
da segunda equação.
Para isso, multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da segunda linha:
Calculando:
Agora, a matriz fica:
Passo 4
Simplificamos a segunda linha dividindo todos os termos por 3:
Assim:
Passo 5
Agora, temos duas equações simplificadas:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Passo 6
Substituímos o valor de
na primeira equação:
Passo 7
Agora, expressamos todas as variáveis em função de
. Vamos chamar
, onde
é um número real qualquer.
Então:
Resposta
Todas as soluções do sistema são dadas por: