Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
r x1-3 x2+2 x3=0 3 x1+6 x2-3 x3=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações lineares homogêneas, ou seja, todas as equações igualam a zero. O sistema é:
r x1 - 3x2 + 2x3 = 0 3x1 + 6x2 - 3x3 = 0
Vamos usar álgebra linear para encontrar todas as soluções possíveis para , e .

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & -3 & 2 & | & 0 3 & 6 & -3 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, usando operações de linha, para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando o R2 = R2 - 3R1 da segunda equação.
Para isso, multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da segunda linha:
R2 = (3 - 3cdot1, 6 - 3cdot(-3), -3 - 3cdot2) = (0, 15, -9)
Calculando:
1 & -3 & 2 & | & 0 0 & 15 & -9 & | & 0
Agora, a matriz fica:

Passo 4

Simplificamos a segunda linha dividindo todos os termos por 3:
R2 = 13R2
Assim:
1 & -3 & 2 & | & 0 0 & 5 & -3 & | & 0

Passo 5

Agora, temos duas equações simplificadas:
  1. 5x2 = 3x3 x2 = 35x3
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 6

Substituímos o valor de x1 - 3(35x3) + 2x3 = 0 x1 - 95x3 + 2x3 = 0 x1 + (2 - 95)x3 = 0 x1 + 15x3 = 0 x1 = -15x3 na primeira equação:

Passo 7

Agora, expressamos todas as variáveis em função de x1 = -15t x2 = 35t x3 = t . Vamos chamar , onde é um número real qualquer.
Então:

Resposta

Todas as soluções do sistema são dadas por:
(x1, x2, x3) = ( -15t, 35t, t ), onde t in R

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