Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M2.
(i) W1=[lla & b c & d] rvert, a, b, c, d in R e b=c e a=-b

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar se o subconjunto [cc a & b c & d ] é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. O enunciado nos diz que é formado por matrizes da forma:
com as condições e . Para verificar se é um subespaço, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para um subconjunto ser um subespaço vetorial, ele deve satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: A soma de duas matrizes em também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz em por um número real também deve resultar em uma matriz que está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Conter o vetor zero:
A matriz zero é:
[cc 0 & 0 0 & 0 ]
Verificamos se ela satisfaz as condições de :
  • (verifica)
  • (verifica)
Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Sejam duas matrizes A = [cc a1 & b1 b1 & d1 ], B = [cc a2 & b2 b2 & d2 ] e A + B = [cc a1 + a2 & b1 + b2 b1 + b2 & d1 + d2 ] em a1 + a2 = -b1 - b2 = -(b1 + b2) :
Vamos somá-las:
Agora, verificamos as condições de para :
  • (satisfaz)
Como e pertencem a , temos e . Portanto:
Assim, também satisfaz as condições de , ou seja, .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Seja A = [cc a & b b & d ] e kA = [cc ka & kb kb & kd ] um número real. Então:
ka = k(-b) = -kb
Multiplicando por :
Agora, verificamos as condições de para :
  • (satisfaz)
Como , sabemos que . Assim:
Portanto, também satisfaz as condições de , ou seja, .

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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