Dados os pontos A = (1, 2, 3), B = (5, 2, 1) e C = (4, 0, -1). Determine o ponto D tal que A B C D seja um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem os pontos , e . A tarefa é encontrar o ponto de forma que forme um paralelogramo. Vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores para resolver isso. Precisaremos entender como os lados opostos de um paralelogramo são iguais e paralelos.

Passo 2

Primeiro, lembremos que em um paralelogramo, os vetores que representam lados opostos são iguais. Ou seja, o vetor deve ser igual ao vetor . Mas também podemos pensar que a diagonal que vai de a é igual à diagonal que vai de a . Vamos usar essa segunda ideia, que diz que o ponto médio das diagonais é o mesmo.

Passo 3

Vamos calcular o ponto médio da diagonal . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando isso para e :

Passo 4

Agora, sabemos que o ponto médio das diagonais também é o ponto médio da diagonal . Então, podemos escrever:
Sabendo que e queremos encontrar , usamos a fórmula do ponto médio para :

Passo 5

Vamos igualar as coordenadas correspondentes:
  1. Para a coordenada :
  1. Para a coordenada :
  1. Para a coordenada :

Resposta

O ponto que faz ser um paralelogramo é .

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