Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo:
f(x, y) = y^2 + xy - 2x - 2y + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos e verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo locais para a função . Esse tipo de problema está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais e testes de segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:

Passo 6

Da primeira equação, temos:

Passo 7

Substituindo na segunda equação:

Passo 8

Então, o único ponto crítico é .

Passo 9

Agora, precisamos verificar se esse ponto é um ponto de máximo ou mínimo local. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante .

Passo 10

Vamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 11

O discriminante é dado por:

Passo 12

Analisando o discriminante:
  • Se e , é um mínimo local.
  • Se e , é um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A única ponto crítico é e ele é um ponto de sela, ou seja, não é nem um máximo nem um mínimo local.

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