Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos e verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo locais para a função
. Esse tipo de problema está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais e testes de segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Passo 6
Da primeira equação, temos:
Passo 7
Substituindo
na segunda equação:
Passo 8
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 9
Agora, precisamos verificar se esse ponto é um ponto de máximo ou mínimo local. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante
.
Passo 10
Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 11
O discriminante
é dado por:
Passo 12
Analisando o discriminante:
- Se
e , é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
A única ponto crítico é
e ele é um ponto de sela, ou seja, não é nem um máximo nem um mínimo local.