Determine o centro e o raio da esfera cuja equação é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar o centro e o raio de uma esfera que tem a equação
. A gente vai usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre esferas no espaço tridimensional, e vamos precisar completar o quadrado para reorganizar a equação da esfera na forma padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação da esfera agrupando os termos de
,
e
. Ficaria assim:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis (
,
e
). Isso ajuda a colocar a equação na forma padrão da esfera.
Para o
:
Para o
:
Para o
:
Passo 4
Substituindo essas expressões de volta na equação original, temos:
Passo 5
Vamos simplificar os termos constantes:
Então a equação fica:
Passo 6
Agora, isolamos os termos quadrados:
Passo 7
A forma padrão da equação da esfera é
, onde
é o centro e
é o raio.
Comparando com a nossa equação:
Resposta
O centro da esfera é
e o raio é
.