Determine o centro e o raio da esfera cuja equação é x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z + 5 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar o centro e o raio de uma esfera que tem a equação . A gente vai usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre esferas no espaço tridimensional, e vamos precisar completar o quadrado para reorganizar a equação da esfera na forma padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da esfera agrupando os termos de , e . Ficaria assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis ( , e ). Isso ajuda a colocar a equação na forma padrão da esfera.
Para o :
Para o :
Para o :

Passo 4

Substituindo essas expressões de volta na equação original, temos:

Passo 5

Vamos simplificar os termos constantes:
Então a equação fica:

Passo 6

Agora, isolamos os termos quadrados:

Passo 7

A forma padrão da equação da esfera é , onde é o centro e é o raio.
Comparando com a nossa equação:

Resposta

O centro da esfera é e o raio é .

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