Interpretando a integral definida como área abaixo do bráfico de uma função, determine diretamente quais devem ser os valores das integrais definidas abaixo, sem utilizar o TFC ou a própria definição:
(Sugestão: Use as fómulas para área de figuras planas da Geometria Plana).
(Sugestão: Use as fómulas para área de figuras planas da Geometria Plana).
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que pede pra interpretar integrais definidas como áreas sob o gráfico de uma função. O que precisamos fazer aqui é calcular diretamente os valores das duas integrais que foram passadas, sem usar o Teorema Fundamental do Cálculo ou a definição direta de integral. Vamos usar fórmulas de áreas de figuras planas da Geometria, tipo retângulos, triângulos e círculos, para facilitar nossa vida.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Primeiro, vamos entender o gráfico dessa função. A função
é uma reta, já que é do jeito
. A gente precisa encontrar a área entre essa reta e o eixo
, de
até
.
Para isso, vamos achar onde a reta corta o eixo
. Isso acontece quando
:
Então, de
até
, a reta está acima do eixo
, formando um trapézio. A área de um trapézio é dada por:
onde
e
são as bases e
é a altura.
Aqui,
é o valor de
em
:
E
é o valor de
em
:
A altura
é a distância entre
e
, que é
.
Então, a área é:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda integral:
Essa função
representa a parte superior de um círculo com raio 3, centrado na origem. Queremos achar a área dessa parte do círculo de
até
.
Sabemos que a área de um círculo inteiro é
. Como queremos apenas a parte do círculo do eixo
para
, estamos calculando um quarto de círculo.
Então, a área de um quarto de círculo é:
Com
: