Interpretando a integral definida como área abaixo do bráfico de uma função, determine diretamente quais devem ser os valores das integrais definidas abaixo, sem utilizar o TFC ou a própria definição:
integral-3^2(2 x+6) d x integral0^3 raiz9-x^2 d x
(Sugestão: Use as fómulas para área de figuras planas da Geometria Plana).

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que pede pra interpretar integrais definidas como áreas sob o gráfico de uma função. O que precisamos fazer aqui é calcular diretamente os valores das duas integrais que foram passadas, sem usar o Teorema Fundamental do Cálculo ou a definição direta de integral. Vamos usar fórmulas de áreas de figuras planas da Geometria, tipo retângulos, triângulos e círculos, para facilitar nossa vida.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral-3^2 (2x + 6) , dx
Primeiro, vamos entender o gráfico dessa função. A função 2x + 6 = 0 implies x = -3 é uma reta, já que é do jeito Área = (B + b) times h2 . A gente precisa encontrar a área entre essa reta e o eixo y = 2(2) + 6 = 10 , de y = 2(-3) + 6 = 0 até Área = (10 + 0) times 52 = 502 = 25 .
Para isso, vamos achar onde a reta corta o eixo . Isso acontece quando :
Então, de até , a reta está acima do eixo , formando um trapézio. A área de um trapézio é dada por:
Á
onde e são as bases e é a altura.
Aqui, é o valor de em :
E é o valor de em :
A altura é a distância entre e , que é .
Então, a área é:
Á

Passo 3

Agora, vamos para a segunda integral:
integral0^3 raiz9 - x^2 , dx
Essa função Área = pi r^24 representa a parte superior de um círculo com raio 3, centrado na origem. Queremos achar a área dessa parte do círculo de Área = pi (3)^24 = 9pi4 até .
Sabemos que a área de um círculo inteiro é . Como queremos apenas a parte do círculo do eixo para , estamos calculando um quarto de círculo.
Então, a área de um quarto de círculo é:
Á
Com :
Á

Resposta

integral-3^2 (2x + 6) , dx = 25 e integral0^3 raiz9 - x^2 , dx = 9pi4

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