Encontre os pontos sobre a curva
mais próximos da origem.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os pontos na curva
que estão mais próximos da origem (ponto (0,0)). Para isso, vamos utilizar conceitos de otimização e derivadas da matéria de Cálculo. Precisaremos calcular a distância entre um ponto qualquer da curva e a origem e então encontrar o mínimo dessa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância
entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Como queremos minimizar essa distância, é mais fácil trabalhar com
, que é:
Passo 3
Sabemos que todos os pontos que estão na curva satisfazem a equação
. Podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
Agora, queremos encontrar o valor de
que minimiza
.
Passo 5
Para encontrar o mínimo, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação
:
Passo 7
Calculando
:
Sabemos que
, então:
No entanto, lembrando que
, os valores de
podem ser positivos ou negativos, então:
Passo 8
Agora, encontramos os valores de
. Vamos encontrar os correspondentes valores de
usando
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos na curva
mais próximos da origem são
e
.