Encontre os pontos sobre a curva x y^2 = 54 mais próximos da origem.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os pontos na curva que estão mais próximos da origem (ponto (0,0)). Para isso, vamos utilizar conceitos de otimização e derivadas da matéria de Cálculo. Precisaremos calcular a distância entre um ponto qualquer da curva e a origem e então encontrar o mínimo dessa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:
Como queremos minimizar essa distância, é mais fácil trabalhar com , que é:

Passo 3

Sabemos que todos os pontos que estão na curva satisfazem a equação . Podemos expressar em função de :

Passo 4

Substituindo na expressão de :
Agora, queremos encontrar o valor de que minimiza .

Passo 5

Para encontrar o mínimo, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação :

Passo 7

Calculando :
Sabemos que , então:
No entanto, lembrando que , os valores de podem ser positivos ou negativos, então:

Passo 8

Agora, encontramos os valores de . Vamos encontrar os correspondentes valores de usando :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos na curva mais próximos da origem são e .

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