Verifique se os pontos dados abaixo são colineares:
(a) A=(1,0,1), B=(2,2,0) e C=(0,-2,2)
(b) A=(0,1,-1), B=(1,2,0) e C=(0,2,1)
© A=(3,1,4), B=(2,7,1) e C=(0,1,5)

Passo 1

Vamos verificar se os pontos dados são colineares. Três pontos são colineares se estiverem alinhados em uma mesma linha reta no espaço. Para isso, vamos usar vetores: criaremos os vetores entre os pontos e veremos se um é múltiplo do outro. Se sim, os pontos são colineares.

Passo 2

Parte (a): AB = B - A = (2-1, 2-0, 0-1) = (1, 2, -1) , AC = C - A = (0-1, -2-0, 2-1) = (-1, -2, 1) , e 1 = -1 times (-1)
Primeiro, calculamos os vetores 2 = -2 times (-1) e -1 = 1 times (-1) :
Agora, verificamos se é múltiplo de . Observando os componentes:
Vemos que , ou seja, um é múltiplo do outro.

Passo 3

Parte (a): Como é múltiplo de , os pontos , e são colineares.

Passo 4

Parte (b): AB = B - A = (1-0, 2-1, 0-(-1)) = (1, 1, 1) , AC = C - A = (0-0, 2-1, 1-(-1)) = (0, 1, 2) , e 1 = k times 0 Rightarrow k indefinido
Calculamos os vetores e :
Verificamos se existe um número tal que :
Como não existe um mesmo para todos os componentes, os vetores não são múltiplos.

Passo 5

Parte (b): Como os vetores e não são múltiplos, os pontos , e não são colineares.

Passo 6

Parte ©: AB = B - A = (2-3, 7-1, 1-4) = (-1, 6, -3) , AC = C - A = (0-3, 1-1, 5-4) = (-3, 0, 1) , e -1 = k times (-3) Rightarrow k = 13
Calculamos os vetores 6 = k times 0 Rightarrow k não definido e :
Agora, tentamos encontrar um tal que :
ã
Como não existe um mesmo para todos os componentes, os vetores não são múltiplos.

Passo 7

Parte ©: Como os vetores e não são múltiplos, os pontos , e não são colineares.

Resposta

  • Parte (a): Os pontos são colineares.
  • Parte (b): Os pontos não são colineares.
  • Parte ©: Os pontos não são colineares.

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