Sejam os pontos A=(1,2,0), B=(2,3,1) e C=(-2,5,0) do espaço. Verifique que os vetores u=B-A e v=C-A são não colineares e escreva as equaçōes paramétricas do plano pi determinado pelos pontos. Verifique se P=(3,-1,2) está no plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três pontos no espaço: , e . Precisamos fazer algumas coisas:
  1. Verificar se os vetores e são não colineares.
  2. Escrever as equações paramétricas do plano determinado por esses pontos.
  3. Verificar se o ponto está nesse plano.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço e equações de planos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores u = B - A = (2 - 1, , 3 - 2, , 1 - 0) = (1, , 1, , 1) e v = C - A = (-2 - 1, , 5 - 2, , 0 - 0) = (-3, , 3, , 0) . Subtraindo as coordenadas de de e :

Passo 3

Agora, precisamos verificar se u = (1, , 1, , 1) v = (-3, , 3, , 0) e 1 = -3k 1 = 3k 1 = 0k são colineares. Dois vetores são colineares se um é múltiplo do outro, ou seja, se existir um escalar tal que .
Vamos ver se isso é possível:
Para ser colineares, deveríamos ter:
A última equação não tem solução, já que para qualquer . Então, e não são colineares.

Passo 4

Como x = xA + s cdot ux + t cdot vx y = yA + s cdot uy + t cdot vy z = zA + s cdot uz + t cdot vz e x = 1 + s cdot 1 + t cdot (-3) y = 2 + s cdot 1 + t cdot 3 z = 0 + s cdot 1 + t cdot 0 não são colineares, sabemos que eles definem um plano. Para escrever as equações paramétricas do plano x = 1 + s - 3t y = 2 + s + 3t z = s , usamos um ponto do plano (vamos usar ) e os vetores e como diretores.
As equações paramétricas ficam assim:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Onde e são parâmetros reais.

Passo 5

Agora, vamos verificar se o ponto 3 = 1 + s - 3t (1) -1 = 2 + s + 3t (2) 2 = s (3) está no plano 3 = 1 + 2 - 3t 3 = 3 - 3t 0 = -3t t = 0 . Para isso, substituímos as coordenadas de -1 = 2 + 2 + 3(0) -1 = 4 (Não é verdade) nas equações paramétricas e vemos se conseguimos encontrar valores de e que satisfaçam todas as três equações.
Substituindo:
Da equação (3), já sabemos que . Vamos substituir na equação (1):
Agora, vamos verificar na equação (2):
ãé

Resposta

Como não encontramos valores consistentes para e que satisfaçam todas as equações, o ponto não está no plano .

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