Sejam os pontos e do espaço. Verifique que os vetores são não colineares e escreva as equaçōes paramétricas do plano determinado pelos pontos. Verifique se está no plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá três pontos no espaço: , e . Precisamos fazer algumas coisas:
Verificar se os vetores e são não colineares.
Escrever as equações paramétricas do plano determinado por esses pontos.
Verificar se o ponto está nesse plano.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço e equações de planos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores e . Subtraindo as coordenadas de de e :
Passo 3
Agora, precisamos verificar se e são colineares. Dois vetores são colineares se um é múltiplo do outro, ou seja, se existir um escalar tal que .
Vamos ver se isso é possível:
Para ser colineares, deveríamos ter:
A última equação não tem solução, já que para qualquer . Então, e não são colineares.
Passo 4
Como e não são colineares, sabemos que eles definem um plano. Para escrever as equações paramétricas do plano , usamos um ponto do plano (vamos usar ) e os vetores e como diretores.
As equações paramétricas ficam assim:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Onde e são parâmetros reais.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o ponto 3 = 1 + s - 3t (1) -1 = 2 + s + 3t (2) 2 = s (3) está no plano 3 = 1 + 2 - 3t 3 = 3 - 3t 0 = -3t t = 0 . Para isso, substituímos as coordenadas de -1 = 2 + 2 + 3(0) -1 = 4 (Não é verdade) nas equações paramétricas e vemos se conseguimos encontrar valores de e que satisfaçam todas as três equações.
Substituindo:
Da equação (3), já sabemos que . Vamos substituir na equação (1):
Agora, vamos verificar na equação (2):
ãé
Resposta
Como não encontramos valores consistentes para e que satisfaçam todas as equações, o ponto não está no plano .