Determine o vetor , colinear ao vetor tal que , sendo .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um vetor que seja colinear ao vetor . Além disso, esse vetor deve satisfazer a condição de que o produto escalar com o vetor seja igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de colinearidade entre vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem colineares. Dois vetores são colineares se um é um múltiplo escalar do outro. Ou seja, podemos escrever , onde é um número real que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabendo que , vamos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre e . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão acima:
Somando esses resultados:

Passo 6

Segundo a condição dada na questão, o produto escalar deve ser igual a . Portanto:
Agora, vamos resolver para :

Resposta

O vetor que satisfaz as condições da questão é:

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Dados os pontos e , determine o vetor tal que
Dados os vetores e , determinar o vetor - tal que e .
Dados os vetores e , calcular:
Dados os vetores e , determinar o valor de para que o vetor seja ortogonal ao vetor .