Determine o vetor , colinear ao vetor tal que , sendo .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um vetor que seja colinear ao vetor . Além disso, esse vetor deve satisfazer a condição de que o produto escalar com o vetor seja igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de colinearidade entre vetores e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem colineares. Dois vetores são colineares se um é um múltiplo escalar do outro. Ou seja, podemos escrever , onde é um número real que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabendo que , vamos expressar em termos de :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar entre e . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão acima:
Somando esses resultados:
Passo 6
Segundo a condição dada na questão, o produto escalar deve ser igual a . Portanto: