Determine o vetor v, colinear ao vetor u=(-4,2,6) tal que v cdot w=-12, sendo w=(-1,4,2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um vetor v que seja colinear ao vetor u = (-4, 2, 6). Além disso, esse vetor v deve satisfazer a condição de que o produto escalar com o vetor w = (-1, 4, 2) seja igual a -12. Para resolver isso, vamos usar conceitos de colinearidade entre vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem colineares. Dois vetores são colineares se um é um múltiplo escalar do outro. Ou seja, podemos escrever v = k cdot u, onde k é um número real que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabendo que v = k cdot u, vamos expressar v em termos de k:
v = k cdot (-4, 2, 6) = (-4k, 2k, 6k)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre v e w. O produto escalar de dois vetores (a, b, c) e (d, e, f) é dado por:
v cdot w = a cdot d + b cdot e + c cdot f
Aplicando isso aos nossos vetores:
v cdot w = (-4k) cdot (-1) + (2k) cdot 4 + (6k) cdot 2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão acima:
(-4k) cdot (-1) = 4k
(2k) cdot 4 = 8k
(6k) cdot 2 = 12k
Somando esses resultados:
4k + 8k + 12k = 24k

Passo 6

Segundo a condição dada na questão, o produto escalar deve ser igual a -12. Portanto:
24k = -12
Agora, vamos resolver para k:
k = -1224 = -12

Resposta

O vetor v que satisfaz as condições da questão é:
v = k cdot u = -12 cdot (-4, 2, 6) = (2, -1, -3)

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